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2016 年全国高考理科数学试题全国卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题
2
.
5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
m 的取值范围是 ()
1、已知 z=(m+3)+(m–1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数
A．(–3,1)
B． (–1,3)
C．(1,+∞)
D． (–∞ 3),–
)
2、已知集合 A={1,2,3}， B={x|(x+1)(x –2)<0，x∈ Z}，则 A∪ B=(
A．{1}
B．{1,2}
C． {0,1,2,3}
)
D． 8
D．{–1,0,1,2,3}
3、已知向量 a=(1,m) ， b=(3,–2)，且 (a+b)⊥ b，则 m=(
A．–8
B．–6
C． 6
4、圆 x2+y2–2x–8y+13=0 的圆心到直线
A．–
ax+y–1=0 的距离为 1，则 a=()
C． 3
4 3
B． –
3 4
D． 2
5、如下左 1 图，小明从街道的 E 处出发，先到 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
F 处与小红会合，再一起到位于
()
G 处的老年公寓参加志愿者活
A．24 B． 18 C． 12 D． 9
6、上左 2 图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A．20π
(
)
B． 24π
C． 28π π
D．32π
7、若将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为
kπ π kπ π kπ π
A．x= – (k∈ Z) B． x= + (k∈ Z) C． x= – (k∈ Z)D． x=
2 6 2 12 2 6 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左
( )
kπ π
+ (k∈ Z) 2 12
3 图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的
x=2， n=2，依次输入的 a 为 2， 2，5，则输出的 s=(
A．7
)
B． 12
C． 17
1 C． –
D． 34
π
3
，则 sin2 α= (
)
9、若 cos(4 –α5)=
7
A．
25
B．
5
1
D．–
7 25
5
10、从区间 [0,1] 随机抽取 2n 个数 x1， x2，?， xn，y1，y2，?， yn，构成 n 个数对 (x1,y1)，(x2,y2)， ?，(xn,yn)，其
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中两数的平方和小于
4n A． m
F1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 (
)
2n
4m C． n
2m D． n
2F1= ,则E的离心
B． m
2
11、已知
、F 是双曲线 E：
x
2
–
2
=1 的左，右焦点，点
y 2 a b
2
M 在 E上，MF1 与 x 轴垂直， sin∠MF
1 3
率为 (
)
3
B．2
A． 2 12、已知函数
C． 3
D． 2
x+1
f(x)(x∈ R)满足 f(–x)=2–f(x) ，若函数 y= x 与 y=f(x)图像的交点为 (x1,y1)， (x2,y2)， ...(xm,ym) ，则
m
( xi
i 1
yi )
(
)
A．0
B． m C． 2m
D． 4m
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
13、 △ABC的内角 A， B， C 的对边分别为
a， b， c，若 cosA= ， cosC=
4 5
5
， a=1，则 b=___________． 13
14、 α、 β是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果 m⊥n， m⊥ α，n∥ β，那么 α⊥ β。 (3)如果 α∥ β， m? α，那么 m∥ β。
(2) 如果 m⊥α， n∥ α，那么 m⊥ n。
(4)如果 m∥n， α∥ β，那么 m 与 α所成的角和 n 与 β所成的角相等。 其中正确的命题有 ____________________( 填写所有正确命题的编号 15、有三张卡片，分别写有
)。
1 和 2，1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是
“我与乙的卡片上相同的数字不是 的卡片上的数字之和不是
1”，丙说： “我
5”，则甲的卡片上的数字是 ____________．
16、若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，则 b=__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、 (本题满分 12 分)Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和，且 a1=1， S7=28。记 bn=[lgan ]，其中 [x] 表示不超过 x 的最大 整数，如 [0.9]=0 ， [lg99]=1 ． (1)求 b 1， b11， b101；
(2)求数列 {bn}的前 1 000 项和．
18、 (本题满分 12 分 )某险种的基本保费为
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a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年
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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费
0 0.85a
1 a
2 1.25a
[]
2 0.20
3 1.5a
4 1.75a
≥5 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 概率
0 0.30
1 0.15
3 0.20
4 0.10
≥5 0. 05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、 (本小题满分 12 分 )如图，菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB=5， AC=6，点 E、F 分别在 AD、 CD
上， AE=CF= ， EF交 BD 于点 H．将 △ DEF沿 EF折到 △ D'EF 位置， OD'=
5 4
10．
(1)证明： D'H⊥平面 ABCD；
(2)求二面角 B–D'A–C 的正弦值．
x2 y2
20、(本小题满分 12 分)已知椭圆 E： t + 3 =1 的焦点在 X 轴上， A 是 E 的左顶点， 斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，
M 两点，点 N 在 E 上， MA ⊥NA．
(1)当 t=4 ， |AM|=|AN| 时，求 △ AMN 的面积；
(2)当 2|AM|=|AN| 时，求 k 的取值范围．
x–2 x
21、 (本小题满分 12 分 )(1)讨论函数 f(x)= x+2 e 的单调性，并证明当
x
x>0 时， (x–2)e +x+2>0；
(2)证明：当 a∈ [0,1)时，函数 g(x)=
ex–ax–a
2
(x>0)有最小值。设
g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．
x
请考生在 22、23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
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