备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题01利用数轴解决集合运算问题

this course will help you gain the ideas, knowledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.专题01 利用数轴解决集合运算问题

【热点聚焦与扩展】

数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算. 1、集合运算在数轴中的体现：

AAB: 在数轴上表示为A,B表示区域的公共部分. B: 在数轴上表示为A,B表示区域的总和.

CUA: 在数轴上表示为U中除去A剩下的部分（要注意边界值能否取到）.

2、问题处理时的方法与技巧：

（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.

（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.

（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.

（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可. 3、作图时要注意的问题：

（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.

（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.

【经典例题】

x例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|3?1}，则（ ）

A．AC．AB?{x|x?0} B?{x|x?1}

B．AB?R

D．AB??

【答案】A 【解析】

xx0由3?1可得3?3，则x?0，即B?{x|x?0}，所以，结合数轴得

AB?{x|x?1}{x|x?0}?{x|x?0}，AB?{x|x?1}{x|x?0}?{x|x?1}，故选A.

1

this course will help you gain the ideas, knowledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.例2【2018届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合A?{x|x?2}， B?xxa，全集U?R，若

??A?eUB，则有（ ）

A. a?0 B. a?2 C. a?2 D. a?2 【答案】C

【解析】A???2,2?,CUB??x?a?,结合数轴得2?a,故选C.

例3【2018届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数a?R，集合A?x|?x?1??x?2??0， B??x|x?a?，若A?B?R，则a的取值范围为（ ）

A. ???,1? B. ???,1 C. ?2,??? D. 2,??? 【答案】B

????【解析】由题得A?{x|x?2或x?1}，因为A?B?R，所以通过画数轴分析得到a?1，（注意一定要取等），故选B.

【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点； （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合； （3）注意考虑端点处是否可以重合.

2BB?例4【2018届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合A?xx?a， B?xx?3x?2?0，若A?????，

则实数a的取值范围是（ ）

A. a?1 B. a?1 C. a?2 D. a?2 【答案】D

x??2?1,0?x?2例5.已知函数g(x)?ax?1,f?x???2，对?x1???2,2?,?x2???2,2?，使得g?x1??f?x2?成

???x,?2?x?0立，则实数a的取值范围是__________ 【答案】

2

this course will help you gain the ideas, knowledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.【解析】思路：任取x1???2,2?，则g?x1?取到g?x?值域中的每一个元素，依题意，存在x2使得g?x1??f?x2?，意味着g?x?值域中的每一个元素都在f?x?的值域中，即g?x?的值域为f?x?的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a的范围

解：x2??0,2?时，f?x2???0,3? x2???2,0?时，f?x2????4,0?

?f?x2????4,3?

?a???1,0?

综上所述：a???1,1? 答案：a???1,1?.

例6.已知集合A?x|x?2或x??1,B??x|a?x?b?，若A【答案】?4

【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B的范围.从而确定出a,b的值， a??1,b?4，所以

??B?R,AB??2,4?，则

b?________ ab??4. a例7. 已知集合A?xx?1?x?1?3,B?xx?(2m?1)x?m?m?0，若A值范围为 【答案】(????22?B??，则实数m的取

53,) 22 3