（教案）中考数学压轴题

中考数学压轴题

1．在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．

（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；

（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；

（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．

P P

Q D A D A A D Q

O1 O1 OO1 E E O2 2 O2 E

B C B F C B C F F

图1 图2 图3

（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点 ∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1 A D ∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC

O1 E ∴∠BO1F＝∠CO2F O2 ∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点

∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°

B F C ∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E ∴△DO1F≌△FO2E

（2）解：延长CA至G，使AG＝AQ，连接BG、AE

P ∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3

G ∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90° ∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝32

∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°

∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝32 同理：∠BAP=90°，AB=AP＝52 ∴CG＝62，∠GAB＝∠QAP ∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG

∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB －AC ＝42

22

22

D A O2 C E Q

O1 B F ∴BG＝BC ＋GC ＝226，∴PQ＝226

（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、AD、DM ∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG 由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90° ∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4

∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH 同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90° ∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90° ∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上 A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上 且∠DBH＋∠DAH＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7 ∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM ∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90° ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB 又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线

P M D 7962831Q 5A O2 E O1 G 4B F H C ︵2．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥

BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

B

D C

E

O A

解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝

2

11

BC＝ 22

在Rt△BOD中，OD＝OB －BD ＝

2

15

2

（2）存在，长度保持不变的边为DE。连接AB

∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝OA ＋OB ＝22 ∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点

22

B

D C 1

∴DE＝AB＝2

2

（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F

∵OD＝2，BD＝x， ∴OD＝4－x O ∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

B

∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°

E A 2

4－x 在Rt△DOF中，DF＝OF＝

2

2

D C

在Rt△DFE中，EF＝DE －DF ＝

22

4－x 22－＝x

22

2

4－x 4－x 112

2∴y＝OE2DF＝(＋x)

22222

2 2

F

O

E A

4－x ＋x4－x

即y＝（0＜x＜2）

4

2

2

3．如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．

C （1）求⊙P的半径；

N （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由． A 解：（1）过B作BD⊥AC于D

M P B ∵⊙P与边AC相切，∴BD是⊙P的半径， ∵cotA＝2，∴sinA＝BD又∵sinA＝，AB＝15，∴BD＝35 AB 5 5 C H D N M A P B （2）过P作PH⊥MN于H 5则PH＝x，PM＝BD＝35 5 ∴MH＝PM －PH ＝ 22 1245－x 5 ∴y＝2MH＝2 12245－x，即y＝55 1125－5x（35≤x＜15） 2 （3）当AP＝65时，∠CPN＝∠A 理由如下：当AP＝65时，PH＝6，MH＝3，AH＝12， ∴AM＝9 ∵AC＝20，MN＝6， ∴CN＝5 ∵ AM935PN35AMPN＝＝，＝， ∴＝ MP355CN5MPCN 又∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM ∴∠AMP＝∠PNC， ∴△AMP∽△PNC ∴∠CPN＝∠A 4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切． （1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，⊙M与CD相切？

（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．

A D

M N B C

解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接ME ∵⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切

∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30° ∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120° ∵⊙M与∠BAD的两边相切 ∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90° ∴在Rt△AMN中AM＝∴ME＝AM2sin60°＝

A E M N B D

11AN＝x 22

C

33

x 即y＝x（x＞0） 44

（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、MG 则MF＝FD＝MG＝y 且AF＝MF2cot60°＝

A F M D G 3331

y＝2x＝x 3344

N B C 13

∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴x＋x＝4

44

∴x＝8(3－1)

（3）作NH⊥BC于点H

若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距MG＝NH ①当点N在线段AB上时 ∵AB＝10，∴BN＝10－x

A F D G ∴FD＝MG＝NH＝BN2sin60°＝∵AF＝

3(10－x) 2

M N B H

113

x，AF＋FD＝AD，∴x＋(10－x)＝4 442

C 104－123

∴x＝

11

A F D

②当点N在AB延长线上时

3则FD＝MG＝NH＝BN2sin60°＝(x－10)

2

M H B N G C

13

x＋(x－10)＝4 42

∴x＝

104＋123

11

∴当x＝

104－123104＋123

或x＝时，直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等。 1111

5．已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．

︵︵（1）当AC＝CD时，求弦CD的长；

（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．

D

C

P A B O