A 备用图
O A 备用图
O ︵︵解：（1）连接OC ，当AC＝CD时，∠POC＝∠DOC
∵BC垂直平分OP， ∴PC＝OC＝4 ∴∠P＝∠POC＝∠DOC ∴△DOC∽△DPO， ∴
C E D DOCD
＝ DPDO
4CD
即＝，解得CD＝25－2 4＋CD4
P A B O （2）作OE⊥CD于E，则CE＝DE＝︵①当点C在AD上时 ∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P
1
y 2
x＋42PBPC412
∴△PBC∽△PEO，∴＝ ，即＝，∴y＝x＋2x－4
PEPOx＋44y
4＋
2
显然，B不与A重合，∴x＜4
当D与C重合时，PC是半圆O的切线 ∴PC⊥OC，∠PCO＝90° ， 此时△PCO是等腰直角三角形 ∴OP＝2OC，即x＋4＝42，x＝42－4 ∵D不与C重合， ∴x＞42－4 ∴42－4＜x＜4 ∴y＝︵②当点C在AD外时，
12
x＋2x－4（42－4＜x＜4） 4
同理，△PBC∽△PEO，∴
PBPC
＝ PEPO
x＋4
2412
即＝，∴y＝－x－2x＋4（0＜x＜42－4）
x＋44y
4－
2
︵（3）①当点C在AD上时，过D作DG∥OP交BF于G 则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBF
C E D P A B O
∴
DEDGDGDF1
＝＝＝＝ PEPBOBOF4＋1
DE1∴＝，即PE5
y
2
y4＋
2
＝
y1
，解得＝1 52
F G D E C
P A B O ∴CE＝1，PE＝5，OE＝
4－1＝15 ， ∴tan∠P＝
22
OE15
＝ PE5
︵②当点C在AD外时，过D作DG∥OP交BE于G 则△DEG∽△PEB，△DFG∽△BFO ∴
DEDGDGDF1
＝＝＝＝ PEPBOBOF4－1
C E D G F P A OE15
＝ PE3
DE1
∴＝，即PE3
y
2
y4－
2
＝
y1
，解得＝1 32
B O
∴CE＝1，PE＝3，OE＝
4－1＝15 ， ∴tan∠P＝
22
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝
3
，⊙B的半径长为1，⊙B交边BC于点P，点O是边AB5
上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
C C N P
A B A B O
图1 图2
3
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝ 5
∴AB＝10，BC＝AB －AC ＝过点M作MD⊥AB于D
22
10－6＝8
22
C 在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝
MD3
＝ MB5
A 36
∵MB＝2，∴MD＝×2＝＞1 ， ∴⊙M与直线AB相离
55
P D B M
（2）∵MD＝
6
＞1＝MP，∴OM＞MP 5
C 若OP＝MP，易得∠MOB＝90° ∴cosB＝
OBBC88
＝＝， ∴OB＝ BMAB105
A ∴OA＝10－
842
＝ 55
P O B M
若OM＝OP，过O作OE⊥BC于E ∴cosB＝
C
EBBC815
＝＝，∴OB＝ OBAB108
A M E P B O ∴OA＝10－
1565＝ 88
∴当△OMP是等腰三角形时，OA的长为（3）连接ON，过N作NF⊥AB于F 在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝∴NF＝
4265
或 58
3
，NB＝y 5
C
344y，BF＝y，∴OF＝10－x－y 555
N A O F B ∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y 在Rt△NFB中，ON ＝OF ＋NF ∴(x＋y)＝(10－x－
222
2
4232
y)＋(y) 55
∴y＝
250－50x
（0＜x＜5）
x＋40
7．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y． （1）求BD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当CE⊥OD时，求AO的长． O
E
A B C D 解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB ∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴
BDOD
＝ OCAC
BD6
＝，∴BD＝9 64
（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B ABAO
又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴＝ AOAC
O E A C D
B
∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴∴y＝
12
x－13 4
y＋13x
＝ x4
∵0＜y＜8，∴0＜
12
x－13＜12，解得213＜x＜10 4
∴定义域为213＜x＜10
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A ∴∠AOD＝180o－∠A－∠ODC＝180o－∠COD－∠OCD＝∠ADO 12
∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴x－13＋4＝x
4
∴x＝2±210（舍去负值） ∴AO＝2±210
︵9．如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90°，点B是MN上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，
点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q． （1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；
（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；
（3）试说明3PQ ＋OA 是定值．
N
F B C
P G E Q
O D A M
（1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON ∴四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OC ∵E、G分别是AB、CO的中点 N ∴AE∥GC，AE＝GC
∴四边形AECG为平行四边形，∴CE∥AG
C
连接OB
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点 G ∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ ∴四边形EPGQ是平行四边形 O （2）当∠CED＝90°时，□EPGQ是矩形，此时∠AED＋∠CEB＝90° 又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，∴∠AED＝∠BCE
N
ADAE
∴△AED∽△BCE，∴＝ C BEBC
22
N
O
备用图
M
F P
Q D
B E A M
F P B yx
2222
设OA＝x，AB＝y，则 ＝，得y＝2x
xy2
G
Q O
D
E
3
又OA ＋AB ＝OB ，即x＋y＝1， ∴x＋2x＝1，解得x＝ 3
2
2
2
2
2
2
2
2
A M
∴当OA的长为
3
时，四边形EPGQ是矩形 3
N
B′ F P A′ O′ Q D
B E A M
（3）连接GE交PQ于点O′，则O′P＝O′Q，O′G＝O′E 过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′ PGPEGE
由△PCF∽△PEG得，＝＝＝2
PFPCFC
C G O
∴PA′＝
2111
A′B′＝AB，GA′＝GE＝OA 3333
∴A′O′＝
11GE－GA′＝OA 26
PQ AB OA
在Rt△PA′O′ 中，PO′ ＝PA′ ＋A′O′ ，即 ＝＋ 4936
2
2
2
222
1114222222222
又AB ＋OA ＝1，∴3PQ ＝AB ＋， ∴3PQ ＋OA ＝AB ＋＋OA ＝1＋＝ 3333
相关推荐：
loading