第59练 平行的判定与性质
[基础保分练]
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面B1AC与平面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
2．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
第2题图 第3题图
3．(2018·常州模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当P满足条件________时，A1P∥平面BCD.(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可) 4．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
5．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.
第5题图 第6题图
6．如图为正方体ABCD－A1B1C1D1切去一个三棱锥B1－A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是________． 7．有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是________．
8．已知直线m，n和平面α，β，且m?α，n?β，则“m∥β，n∥α”是“α∥β”的
1
____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝22，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，若EF∥平面ACB1，则EF＝________.
第9题图 第10题图
10．(2019·徐州质检)如图是一个正方体的表面展开图，B，N，Q都是所在棱的中点，则在原正方体中有以下命题：
①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE； ④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC. 其中为真命题的是________．(填序号)
[能力提升练]
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM＝BN，以下结论： ①AA1⊥MN；②A1C1∥MN； ③MN∥平面A1B1C1D1； ④MN与A1C1异面．
其中有可能成立的是________．(填序号)
3．已知直线a，b异面，给出以下命题： ①一定存在平行于a的平面α使b⊥α； ②一定存在平行于a的平面α使b∥α；
2
③一定存在平行于a的平面α使b?α；
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点． 则其中正确的命题是________．(填序号)
4．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件： ①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.
如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确条件的序号都填上)
5．(2018·南师大附中期中)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最大值是________．
第5题图 第6题图
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形
A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件________时，有BH∥平面MNP.
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答案精析
基础保分练
1．平行 2.平行 3.P是CC1中点 4．平行 5.1∶2 6．平行
解析 如图，将其补成正方体ABCD－A1B1C1D1，
设B1D1和A1C1交于点O1，连结O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1＝OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，则D1O∥O1B，因为O1B?平面A1BC1，D1O?平面A1BC1，所以直线D1O∥平面A1BC1. 7．1
8．必要不充分
解析 由m∥β，n∥α不一定推出α∥β.由m?α，α∥β，得m∥β.由n?β，α∥β，得n∥α，所以“m∥β，n∥α”是“α∥β”的必要不充分条件． 9．2
解析 设平面AB1C∩平面A1C1＝m，
∵EF∥平面AB1C，EF?平面A1C1，平面AB1C∩平面A1C1＝m，∴EF∥m， 又平面A1C1∥平面AC，平面AB1C∩平面A1C1＝m，平面AB1C∩平面AC＝AC， ∴m∥AC，又EF∥m，∴EF∥AC， 又A1C1∥AC，∴EF∥A1C1， 又E为A1D1的中点， 1
∴EF＝A1C1＝2.
210．①②④⑤
解析 将正方体还原后如图所示，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，所以①②④⑤为真命题．
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能力提升练
1．①② 2.①②③④ 3．②③④
解析 对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，
b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线
a平行，且b?α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确． 4．①③
解析 ①中，由b?β，b?γ，得β∩γ＝b，又a∥γ，a?β，所以a∥b(线面平行的性质定理)．③中，由α∩β＝a，a?γ得β∩γ＝a，又b∥β，b?γ，所以a∥b(线面平行的性质定理)． 5．22
解析 设正方体的棱长为a，
设G，H，I分别为CD，CC1，C1D1边上的中点， 则A1，B，G，E四点共面， 且平面A1BGE∥平面B1HI， 又∵B1F∥平面A1BE， ∴F落在线段HI上，
∠B1FC1是B1F与平面CDD1C1所成的角， tan∠B1FC1＝
B1C1
， FC1
设HI的中点为J，则当F与J重合时FC1最小， 此时B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最大值为
a2a4
＝22.
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6．H∈线段A1D
解析 连结A1B，A1D，BD，CB1，
因为M，N分别是C1C，C1B1的中点，所以MN∥CB1， 因为CD∥A1B1，且CD＝A1B1，
所以四边形CDA1B1是平行四边形，所以CB1∥DA1，所以MN∥DA1，又MN?平面A1BD，DA1?平面
A1BD，所以MN∥平面A1BD.
同理可证PN∥平面A1BD，
又MN?平面MNP，PN?平面MNP，MN∩PN＝N，所以平面A1BD∥平面MNP. 当H∈线段A1D时，BH?平面A1BD， 所以BH∥平面MNP.
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