专题 8：导数（文）
经典例题剖析
考点一：求导公式。
例 1. f (x) 是 f (x)
1 x3 3
2x 1 的导函数，则
f ( 1) 的值是
。
解析： f ' x 答案： 3
x 2 2 ，所以 f ' 1 1 2
3
考点二：导数的几何意义
例 2. 已 知 函 数 y
。 f ( x) 的 图 象 在 点 M (1， f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y 。
1
x 2 ， 则
2
f (1) f (1)
解析：因为 k
1 2
，所以 f ' 1
，由切线过点 M (1， f (1)) ，可得点 M 的纵坐标为
1 2
5
，所以 f 1
2
答案： 3 例 3.曲线 y x3
5 ，所以 f 1 2
f ' 1 3
2x2 4x 2 在点 (1， 3) 处的切线方程是
4x 4 ， 点 (1， 3) 处切线的斜率为 k
。
解析： y' 3x2 线方程为 y
3 4 4 5 ，所以设切
5x b ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得 b 2 ，所以，过曲线上点 (1， 3) y 2 0
处的切线方程为： 5x
答案： 5x y 2 0
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线
C ： y x 3
3x 2 2x ，直线 l : y
kx ，且直线 l 与曲线 C 相切于点
x0 , y0 x0 0 ，求直线 l 的方程及切点坐标。
直 线 过 原 点 ， 则 k
解 析 ： y0 x0 0 。 由 点 x0 , y0 在 曲 线 C 上 ， 则
x0
y0 x0 3 3x0 2
2x0 ， y0
x0
x0 2
3x0 2。又 y' 3x2
6x 2 ，
在
x0 , y0
处 曲 线 C 的 切 线 斜 率 为 k f ' x0
3x0 2 6x0
3 2
2 ，
或 x0
x0
2
3x0 2
3x0
2
6x0 2 ，整理得： 2 x0 3x0 0 ，解得： x0
0
（舍），此时， y0
3 ， k
8
1 。所以，直线 l 的方程为 y
4
1
x ，切点坐标是
4
3 , 3 。
2 8
答案：直线 l 的方程为 y
1
x ，切点坐标是 3 , 3
4 2 8
点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在
切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不
是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例 5.已知 f x
解析：函数
ax3 f x
3x2 x 1在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。
的导数为
'
f x
3 26 ax
1 。对于 x
都有 时，
x R 0 36 12a
f ' x
，解得 a
0 f x
为减函数。由 3ax 2
6x 1
0 x R 可得 a
3 。所以，
0
当 a
3 时，函数 f x 对 x R 为减函数。
3
（ 1） 当 a
3时， f x
3x3 3x 2
x 1 3 x
1
8 。 9
3
由函数 y x3 在 R 上的单调性，可知当
a
3 是，函数 f x 对 x R 为减函数。
3 时，函数 f x 在
3 时，函数 f x 在 R 上存在增区间。 所以， 当 a （ 2） 当 a
R上不是单调递减函数。
综合（ 1）（ 2）（ 3）可知 a 答案： a
3 。
3
点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例 6. 设函数 f (x)
2x3 3ax 2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值。
（1）求 a、b 的值； （2）若对于任意的 解析： （ 1 ） f (x)
x [0，3] ，都有 f ( x) c2 成立，求 c 的取值范围。
6x2
6ax 3b ，因为函数 f (x) 在 x 1 及 x 2 取得极值，则有
f (1) 0 ， f (2) 0 ．即
6 6a 3b
，
0
，解得 a
3 ， b 4 。
24 12a 3b 0．
（2）由（Ⅰ）可知， f (x) 当 x 当 x
2x3 9x2 12 x 8c ， f ( x) 6x2
18x 12 6( x 1)(x 2) 。
(01)， 时， f (x) 0 ；当 x (12)， 时， f ( x) 0 ；当 x (2，3) 时， f ( x) 0 。所以， 1 时， f ( x) 取得极大值 f (1)
5
8c ，又 f (0) 8c ， f (3) 9 8c 。则当 x 0，3 时， f (x) 的最大值为 f (3) 9 所以
8c 。因为对于任意的 x
0，3 ，有 f (x) c2 恒成立， ， 1) U (9， ) 。
9 8c c2 ，解得
c
1 或 c 9 ，因此 c 的取值范围为 (
， 1) U (9， ) 。
答案：（ 1 ） a 3 ， b 4 ；（ 2） ( 点评：本题考查利用导数求函数的极值。 求可导函数 f ②求 f ' x
x 的极值步骤： ①求导数 f ' x ；
0的根在数轴上标出，得出单调区间，
0 的根；③将 f ' x
由
f ' x 在各
区间上取值的正负可确定并求出函数
f x 的极值。
考点六：函数的最值。
例 7. 已知 a 为实数， f
x
x2 4 x a 。求导数 f ' x ；（ 2）若 f '
1 0 ，求 f x
在区间
2,2 上的最大值和最小值。
x3 ax 2 4x 4a ，f ' x 2a 4 0 ， a
3x 2 2ax 4 。 3x2
x 4
3x 4 x 1
解析： （ 1） f x （2） f ' 1 3
1
。 f ' x
2
令 f ' x 0 ，即 3x 4 x 1
0 ，解得 x
1 或 x
4 3
，则 f
x 和 f ' x 在区间
2,2
上随 x 的变化情况如下表：
x
2
2, 1
1
1,
4
3
—
4
3
0
4
,2
2
3
＋ 增函数 f ' x f x f
＋
0 极大值
0
增函数
减函数 极小值
0
1
9 ， f 4
2 3 50 。所以， f x 在区间
27
2,2 上的最大值为 f
4
3
50 ，最 27
小值为 f
1
9 2
。
答案：（ 1 ） '
f x
4 ；（ ）最大值为 4 3 2 2
x ax f 2
3
50 ，最小值为 27
9 。 f
1
2
点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数 f x 在区间 a,b 上的最值， 要先求
出函数 f x 在区间 a, b 上的极值， 然后与 f
a 和 f b 进行比较， 从而得出函数的最大最
小值。
考点七：导数的综合性问题。
3 例 8. 设函数 f ( x) axbx c (a 0) 为奇函数，其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
x 6 y 7 0 垂直，导函数 f '( x) 的最小值为
12 。（ 1）求 a ， b ， c 的值；
（2）求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 解析： （ 1）∵ f (x) 为奇函数，∴ f ( x)
∴ c
f ( x) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值。
f ( x) ，即 ax3
bx c
ax 3 bx c
0 ，∵ f '( x) 3ax2 b 的最小值为 12，∴ b
3a b
，又直线 x 6 y 7 0 12
的斜率为 ，因此， f '(1)
1
6 ，∴ a 2 ， b
12 ， c 0 ．
6
（2） f ( x)
2 x3 12x 。 f '(x)
(
,
2) 6x2 12 6( x 2
( 2, 2)
2)( x
2) ，列表如下： 2 ( 2,
)
x f '( x)
0 0
f ( x)
增函数 极大 减函数 极小 增函数
所 以 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 是 ( , 2) 和 ( 2, ) ， ∵ f ( 1) 10 ，
f ( 2) 8 2 ， f (3) 18 ， ∴ f ( x) 在 [ 1,3] 上 的 最 大 值 是 f (3) 18 ， 最 小 值 是 f ( 2)
8 2 。
答案：（1 ） a 2 ，b 12，c 0 ；（ 2）最大值是 f (3) 18 ，最小值是 f (
2) 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以
及推理能力和运算能力。
导数强化训练
（一） 选择题
1. 已知曲线 y
x2
的一条切线的斜率为 1
，则切点的横坐标为（ A ）
4 2
A ． 1
B． 2
C． 3
D． 4
2. 曲线 y
x3 3x2 1在点（ 1，－ 1）处的切线方程为
（ B
）
A ． y 3x 4 B ． y 3x 2 C． y
4x 3 D ． y 4x 5
3. 函数 y
( x 1) 2 ( x 1) 在 x 1处的导数等于
（ D
）
A ． 1B ．2
C． 3 D ．4
4. 已知函数 f ( x)在 x
1处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为
（ A ）
A ． f (x) (x 1) 2 3( x 1) B ． f ( x)
2( x 1)
C． f (x)
2( x 1) 2 D． f ( x)
x 1
5. 函数 f ( x)
x 3 ax 2 3x 9 ，已知 f (x) 在 x
3 时取得极值，则 a =（ D
（ A ） 2
（B ） 3
（ C） 4
（D ） 5 6. 函数 f ( x) x3 3x2 1是减函数的区间为 ( D
)
（Ａ） (2, ) （Ｂ） ( , 2) （Ｃ） (
,0) （Ｄ） (0, 2)
7. 若函数 f x
x 2 bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数
f ' x 的图象是（
8 2 。
）
A）
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