蚁群算法的优化计算---旅行商问题（TSP）优化
一．理论基础
1.1蚁群算法基本思想
生物学家研究发现，自然界中的蚂蚁觅食是一种群体性行为，并非单只蚂蚁自行寻找食物源。蚂蚁在寻找食物源的时候，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其他蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近，信息素越高，表示对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以比较大的概率优先选择信息素浓度比较高的路径，并释放一定的信息素，以增加该条路径上的信息素浓度，这样会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，既最短距离。值得一提的是，生物学家同时发现，路径上额信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰退。
将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化的问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时的便是待优化问题的最佳解。
1.2蚁群算法解决TSP问题基本原理
将用数学语言对上述蚁群算法的基本细想进行抽象描述，并仔细阐述蚁群算法用于解决TSP问题的基本原理。
不是一般性，设整个蚂蚁群中的蚂蚁个数为m，城市的数量为n，城市i与城市j之间的距离为dij(i,j?1,2,?n).t时刻城市i与城市j连接路径上的信息素浓度为?ij(t)。初始时刻，各个城市间连接路径上的信息素相同，不妨设?ij(0)??0
蚂蚁k(k?1,2,?,m)根据各个城市间连接路径上的信息素浓度决定下一个访问城市。设Pij(t)表示t时刻蚂蚁k从城市i转移到城市j的概率，其计算公式为
[?ij(t)]?[?ij(t)]?s?allowkk???Pij?k?[?is(t)]?[?is(t)],s?allowk------------------(1)
其中，?ij(t)为启发函数，?ij(t)=1?dij，表示蚂蚁从城市i转移到城市j的期望程度；allowk(k?1,2,?m)为蚂蚁k待访问城市的集合，开始时，allowk中有(n?1)个元素，即包括除了蚂蚁k出发城市的其他所有城市，随着时间的推进，allowk中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的城市均访问完毕；?为信息素重要程度因子，其值越大，?表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离较短的城市。
如前文所述，在蚂蚁释放信息素的同时，各个城市间连接路径上的信息素逐渐消失，设参数?(0???1)表示信息素的挥发程度。因此，当所有蚂蚁完成一次循环后，各个城市间连接路径上的信息素浓度需进行实时更新，即
?ij(t?1)?(1??)?ij(t)??ij
n??ij????k?1kij，0?p?1 ----------------------(2)
其中，??ij表示第k只蚂蚁在城市i与城市j连接路径上释放的信息素浓度。??ij表示所有蚂蚁在城市i与城市j连接路径上释放的信息素浓度之和。
针对蚂蚁释放信息素问题，M.Drifo等人曾给出3中不同的模型，分别称之为ant cycle system,ant quantity system和ant density system，其计算公式如下
k1.ant cycle system模型
ant cycle system模型中，??ij的计算公式为
k??ij=QLij，第k只蚂蚁从城市i访问城市j---------------(3)
k其中，Q为常数，表示蚂蚁循环一次所释放的信息素总量，Lk为第k只蚂蚁经过路径的长度。
2.ant quantity system模型
ant quantity system模型中，??ij的计算公式为
??ij?Qdij,第k只蚂蚁从城市i访问城市j----------------(4)
kk3.ant density system模型
ant density system模型中，??ij的计算公式为
??ij?Q,第k只蚂蚁从城市i访问城市j-------------------(5)
kk上述3中模型中，ant cycle system模型利用蚂蚁经过路径的整体信息（经过路径的总长）计算释放的信息素浓度；ant quantity system模型则利用蚂蚁经过路径的局部信息（经过各个城市之间的距离）计算释放的信息素浓度；而ant density system模型则更为简单的将信息素释放的浓度取为恒值，并没有考虑不同蚂蚁经过路径长短的影响。因此，一般选用ant cycle system模型计算释放的信息素浓度，即蚂蚁经过的路径越短释放的信息素越高。
1.3 蚁群算法解决TSP问题基本步骤
基于上述原理，将蚁群算法应用于解决TSP问题一般需要以下几个步骤： 1.初始化参数
在计算之初，需要对相关的参数进行初始化，如蚁群规模（蚂蚁数量）m，信息素重要程度因子?、启发函数重要程度因子?、信息素挥发因子Q、最大迭代次数iter-max、迭代次数初值iter=1 2.构建解空间
将各个蚂蚁随机地置于不同出发点，对每个蚂蚁k（k=1,2，.....n），按照（1）式计算其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市。
3.更新信息素
计算各个蚂蚁经过的路径长度Lk(k?1,2,?,m)，记录当前迭代次数的最优解（最短路径）。同时，根据式(2)和式(3)对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。
4.判断是否终止
若iter 1.4 蚁群算法的特点 基于蚁群算法的基本思想及解决TSP问题的基本原理，不难发现，与其他优化算法相比，蚁群算法具有以下几个特点： （1）采用正反馈极值，使得搜索过程不断收敛，最终逼近最优解。 （2）每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接的通讯。 （3）搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率。 （4）启发式的概率搜索方式不容易陷入局部最优，易于寻找全局最优解。 二.案例背景 2.1 问题描述 按照枚举法，我国31个直辖市、省会和自治区首府（未包括港、澳、台）的巡回路 应有约1.326*1032种，其中一条路径如图所示。试利用蚁群算法寻找到一条最佳或者较佳的路径。 2.2 解决思路及步骤 依据蚁群算法解决TSP问题的基本原理及步骤，实现中国TSP问题求解大体上可以分为以下几个步骤，如图所示 （1）计算城市间相互距离 根据城市的位置坐标，计算两两城市间的相互距离，从而得到对称的距离矩阵（维数为31的方阵）。需要说明的是，计算出得矩阵对角线上的元素为0，然而如前所述，由于启发函数?ij(t)?1dij，因此，为了保证分母不为0，将对角线上的元素修正为一个非常小的正数（如10或10等） ?4-5（2）初始化参数 如前文所述，在计算之前，需要对相关的参数进行初始化。 （3）迭代寻找最佳路径 首先构建空间，即各个蚂蚁根据转移概率公式(1)访问所有的城市。然后计算各个蚂蚁经过的长度，并在每次迭代后根据公式(2)和公式(3)实时更新各个城市连接路径上的信息素浓度。经过循环迭代，记录下最优的路径及其长度。 （4）结果分析
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