中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析

中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析

一、二次函数

1．如图，对称轴为直线x??1的抛物线y?ax?bx?c?a?0?与x轴相交于A、B两

2点，其中A点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a?1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S?POC?4S?BOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 【答案】（1）点B的坐标为（1，0）. （2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD长度的最大值为【解析】 【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到S?BOC，设出点P 的坐标，根据S?POC?4S?BOC列式求解即可求得点P的坐标．

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】

解：（1）∵A、B两点关于对称轴x??1对称 ，且A点的坐标为（－3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a?1，对称轴为x??1，经过点A（－3，0），

9. 4?a?1?a?1?b????1∴??，解得?b?2. ?2a?c??32???9a?3b?c?0∴抛物线的解析式为y?x2?2x?3.

∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴S?BOC?设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则S?POC?∵S?POC?4S?BOC，∴

213?1?3?. 2213?3?p?p. 223p?6，解得p??4. 22当p?4时p?2p?3?21；当p??4时，p?2p?3?5， ∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC的解析式为y?kx?b，将点A，C的坐标代入，得：

?k??1??3k?b?0. ，解得：???b??3?b??3∴直线AC的解析式为y??x?3.

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为(q,-q-3). 又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为(q,q2+2q-3).

23?9?∴QD??q?3?q?2q?3??q?3q???q???.

2?4??2?2∵a??1<0，-3

329. 4

2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【解析】 【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100， 解得：x＝40， 60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000 ＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c交x轴于点A??4,0?、

B?2,0?，交y轴于点C?0,6?，在y轴上有一点E?0,?2?，连接AE.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求?ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使?AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有

P点的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）二次函数的解析式为y??面积取得最大值【解析】

分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），

3232x?x?6；（2）当x??时，?ADE的42350；（3）P点的坐标为??1,1?，?1,?11，?1,?2?19. 3?????16a?4b?c?0?∴?4a?2b?c?0， ?c?6?3?a???4?3?解得：?b??，

2??c?6??所以二次函数的解析式为：y=?323x?x?6； 421x?2， 2（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=?过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，?∴DF=?3231m?m?6），则点F（m，?m?2）， 42232313m?m?6﹣（?m?2）=?m2?m?8， 422411×DF×AG+DF×EH 22∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= =

11×DF×AG+×DF×EH 221 =×4×DF 232 =2×（?m?m?8）

4 =?（m?）?∴当m=?3223250， 3250时，△ADE的面积取得最大值为． 33323x?x?6的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣42 （3）y=?2，AE=4，0），可求PA=9?n2，PE=1?16?4?25，分三种情况讨论： （n?2）2，解得：n=1，此时P（﹣1，1）； 当PA=PE时，9?n2=1?（n?2） 当PA=AE时，9?n2=16?4?25，解得：n=?11，此时点P坐标为（﹣1，

?11）；

2= 当PE=AE时，1?16?4?25，解得：n=﹣2?19，此时点P坐标为：（n?2）（﹣1，﹣2?19）．

综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，?11），（﹣1，﹣2?19）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．

4．二次函数y=x2-2mx+3（m＞

）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n

＞0且n为整数），与y轴交于C点．

（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积； （2）求证：a=m-；

（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值． 【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=【解析】

试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；

②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；

（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；

（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可确定a的值． 试题解析：（1）①∵a=1， ∴A（1，0），

代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2， ∴y=x2-4x+3；

②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3， ∴A（1，0）、B（3，0），

∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3）， ∴OC=3，

△ABC的面积=×2×3=3；

（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，

?．