∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B ∴点A和点B关于直线x=m对称， ∴a+n-m=m-a， ∴a=m-；
（3）y=x2-2mx+3（m＞
）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞
）
①当a为整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n是整数， ∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， ∴n=2， ∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0， ∴m2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去）， ∴a=2-1=1，
②当a不是整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n不是整数， ∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， ∴n=3， ∴a=m-
∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3， ∴m2=∴m=∴a=
， ，m=-?，
?． （舍去），
综上所述：a=1或a=
考点：二次函数综合题．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B． （1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；
【解析】 【分析】
（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；
（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点； 【详解】
解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）； （2）当函数经过点A时，a＝0， ∵图形M与线段AB恰有两个公共点， ∴y＝a要在AB线段的上方， ∴a＞﹣3 ∴﹣3＜a≤0； 【点睛】
本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．
6．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离
；（4）（，
）．
相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛
物线的解析式联立，得到方程组
，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4， 故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：故可得点A的坐标为（，）；
，解得：，或
．
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣×× =4+=
﹣；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b， ∵P的坐标为（2，4）， ∴4=×2+b，解得b=3， ∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，）．
，
∴点M的坐标为（，
考点：二次函数的综合题
7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=
111×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15． 222
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
8．如图，已知直线y?kx?6与抛物线y?ax2?bx?c相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。
2【答案】解：（1）y?x?2x?3；（2）存在，P（
1-1313-1，）；（3）Q点坐标2273）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）. 22【解析】 【分析】
为（0，-（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.
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