（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】
解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2， ∴y＝2x﹣6， 令y＝0，解得：x＝3， ∴B的坐标是（3，0）． ∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0， 解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC， 此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x． 设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝∴P（1+131-13（m＝＞0，舍），
221-1313-1，）． 22（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
5ADDQ15DQ1?∴=，即，∴DQ1＝， ODDB2635∴OQ1＝
77，即Q1（0，-）； 22②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB， ∴
OBOQ23OQ2?，即?， ODOB6333，即Q2（0，）； 22∴OQ2＝
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
OQ3OBOQ33??∴，即 Q3EAE4?OQ31∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3， 即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）． 综上，Q点坐标为（0，-
73）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）． 22
9．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(?1,0)． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使?PNC的面积是矩形MNHG面积的
9？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 16
【答案】（1）y??x2?2x?3 （2）最大值为10 （3）故点P坐标为：(,【解析】 【分析】
3153?32?3?623?32?3?62)或(,)或(,)． 242424（1）二次函数表达式为：y?a?x?1??4，将点B的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG的周长
2C?2MN?2GM?2?2x?2??2?x2?2x?3??2x2?8x?2，即可求解；
（3）S?PNC?可求解． 【详解】
（1）二次函数表达式为：y?a?x?1??4，
将点B的坐标代入上式得：0?4a?4，解得：a??1， 故函数表达式为：y??x?2x?3…①；
（2）设点M的坐标为x,?x?2x?3，则点N2?x,?x?2x?3， 则MN?x?2?x?2x?2，GM??x2?2x?3，
矩形MNHG的周长C?2MN?2GM?2?2x?2??2?x?2x?3??2x?8x?2，
222??27119??PK?CD??PH?sin45??32，解得：PH??HG，即82242?2??2???∵?2?0，故当x??b?2，C有最大值，最大值为10， 2a9， 16此时x?2，点N?0,3?与点D重合； （3）?PNC的面积是矩形MNHG面积的则S?PNC?9927?MN?GM??2?3?， 16168连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH?GH， 过点P作PK?CD于点K，
将C?3,0?、D?0,3?坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y??x?3，
OC?OD，∴?OCD??ODC?45???PHK，CD?32，
设点Px,?x?2x?3，则点H?x,?x?3?，
2??S?PNC?2711??PK?CD??PH?sin45??32， 8229?HG， 4解得：PH?2则PH??x?2x?3?x?3?解得：x?9， 43， 2?315?P故点?,?， ?24?直线n的表达式为：y??x?3?联立①②并解得：x?93??x?…②， 443?32， 2?3?32?3?62??3?32?3?62?,,即点P'、P''的坐标分别为?????、???； 2424????故点P坐标为：?【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
?315??3?32?3?62??3?32?3?62?,?或?,,或???????． 2424?24?????
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存
3339，）或（?，），见解析. 2244【解析】
在，（?【分析】
（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M． 【详解】
（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得
?9a?3b?c?0??a?b?c?0， ?c?3??a??1?解得?b??2，
?c?3?所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，
∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3）， ∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x． ∴S△PAC＝∴
1PQ?OA， 21?x2?3x?3?3， 2??解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
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