当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4）， 当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，
∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点， ∴D点坐标为（﹣1，4）， 又∵A（﹣3，0），
∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2， ∵B（1，0），C（0，3）
∴tan∠ABC＝3，BC＝10，sin∠ABC＝∵AC＝4，
∴AE＝AC?sin∠ABC＝4?∴CE＝
310，直线BC解析式为y＝﹣3x+3． 10310610210＝，BE＝， 1055310， 5AE?2， CE∴tan∠ACB＝
∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2， ∴∠ACB＝∠PAB，
∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2
Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA， 即OM为y＝﹣x，
设OM与AD的交点M（x，y）
?y??x依题意得：?，
y?x?3?3?x????2解得?，
3?y??2?即M点为（?33，）． 22Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC， ∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则
?y??3x依题意得：?，
y?x?3?3?x????4解得?，
9?y??4?即M点为（?39，）， 44综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为
3339，）或（?，）． 2244【点睛】
（?本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而
求出线段之间的关系．
11．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15． 【解析】 【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积． 【详解】
?a?b＝?3?（1）由题意得，?b，
?＝2??2a解得?1?a＝，
?b＝?4∴抛物线的解析式为y=x2-4x， 令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）, ∵PA⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA∽△AEB,
PFAFx2?4x4?x?∴，即， ?AEBE2?13解得，x= ?1，x=4（舍去） ∴x2-4x=-5
∴点P的坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1 所以BP与x轴交点为（∴S△PAB=【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
1，0） 4115??5?3?15 24
12．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
85【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴
，
×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得
，求得抛物线的解析式为：y=﹣
t2+5t+，当t=时，y最大
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣∴当t=时，y最大=4.5；
t2+5t+，
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣
×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．
13．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探
究）．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣
相关推荐：
loading