2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC=
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有②当MC=PC时，则有7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=21+2
）或（2，﹣1﹣2
）；
）或（2，7）或（2，﹣1+2
）或
，解得t=﹣1+2
或t=﹣1﹣2
，此时M（2，﹣
=2
=|t+1|，解得t=
，此时M（2，
）；
，MP=|t+1|，PC=
，
，解得
，
，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，（2，﹣1﹣2
）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x， ∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=∴当x=
EF?OD+
EF?BD=
EF?OB=
×3（﹣x2+3x）=﹣，
），
（x﹣
）2+
，
时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（
，
）时，△CBE的面积最大．
即当E点坐标为（
考点：二次函数综合题．
14．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示． 销售量p（件） P=50—x 销售单价q（元/件） 当1≤x≤20时，q?30?1x 2525 x 当21≤x≤40时，q?20? （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ （2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式． （3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件（2）
1?x2?15x?500?1?x?20?2y?{（3）这40天中该网店第21天获得的利润最大？最
26250?525?21?x?40?x大利润是725元 【解析】 【分析】
（1）分别将q=35代入销售单价关于x的函数关系式，求出x即可． （2）应用利润=销售收入－销售成本列式即可．
（3）应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求． 【详解】
解：（1）当1≤x≤20时，令q?30?1x?35，解得；x?10； 2525?35，解得；x?35． x∴第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件．
当21≤x≤40时，令q?20?（2）当1≤x≤20时，y??30?当21≤x≤40时，y??20???11?x?20??50?x???x2?15x?500； 22???52526250??20??50?x???525． xx?1?x2?15x?500?1?x?20?2∴y关于x的函数关系式为y?{．
26250?525?21?x?40?x（3）当1≤x≤20时，y??∵?1212x?15x?500???x?15??612.5， 221?0，∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5． 226250随着x的增大而减小， x当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴∴当x=21时，y?∵y1＜y2，
2625026250?525有最大值y2，且y2??525?725． x21∴这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是725元．
15．已知抛物线y??123x?x的图象如图所示： 22（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y??123?3?0?、x?x?2；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，??，222???311??311??，2??，2?????2?、??2?． 22????【解析】 【分析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y??故答案为y??123x?x+2． 22123x?x+2； 22123x?x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）． 22当x=0时，y=2，即C（0，2）．
（2）当y=0时，?AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）
2
=20．
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形； （3）y??2
123333x?x+2的对称轴是x??，设P（?，n），AP2=（1?）22222+n2?2529?n，CP2??（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论： 44252
?n=5，方程无解； 425293?n??（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（?，0）； 442①当AP=AC时，AP2=AC2，②当AP=CP时，AP2=CP2，③当AC=CP时，AC2=CP2，（?91111?（2﹣n）2=5，解得：n1=2?，n2=2?，P2422331111，2?），P3（?，2?）． 2222综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（?【点睛】
本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利
3331111，0），（?，2?），（?，2?）． 22222用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．
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