解析如图所示,
∵∠C=90°,tanA=2,
∴设BC=x,则AC=2x,故AB=√5x,
则sinB=????=
????2??√1
=5??2√55
.
3
5.(2018山东泰安)如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=4,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过点D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为 .
答案S=-25x+2x
解析(1)在Rt△CDE中,tanC=4,CD=x
3
3
2
3
∴DE=5x,CE=5x, ∴BE=10-5x,
∴S△BED=2×(10-5??)·5x =-25x2+3x. ∵DF=BF,
∴S=2S△BED=-25x2+2x.
6.(2018江苏无锡)已知△ABC中,AB=10,AC=2√7,∠B=30°,则△ABC的面积等于 . 答案15√3或10√3 解析作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,
1
3
3
6
1
4
3
4
34
①如图1,当AB,AC位于AD异侧时,
图1
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5√3, 在Rt△ACD中,∵AC=2√7, ∴CD=√????2-????2=√(2√7)-52=√3,
则BC=BD+CD=6√3,
2
∴S△ABC=2·BC·AD=2×6√3×5=15√3; ②如图2,当AB,AC在AD的同侧时,
11
图2
由①知,BD=5√3,CD=√3, 则BC=BD-CD=4√3,
∴S△ABC=2·BC·AD=2×4√3×5=10√3.
综上,△ABC的面积是15√3或10√3. 三、解答题
7.(2018山东临沂)如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(√3+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?
11
解工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.
理由是:过点B作BD⊥AC于点D,
∵AB>BD,BC>BD,AC>AB, ∴求出DB长和2.1m比较即可,
设BD=xm,
∵∠A=30°,∠C=45°, ∴DC=BD=xm,AD=√3BD=√3xm, ∵AC=2(√3+1)m, ∴x+√3x=2(√3+1), ∴x=2,
即BD=2m<2.1m,
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.
8.(2018广西桂林)如图所示,在某海域,一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上,且BC=60海里;指挥船搜索发现,在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救,已知海监船A的航行速度为30海里/小时,则渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援?(参考数据:√2≈1.41,√3=1.73,√6≈2.45,结果精确到0.1小时)
解因为A在B的正西方,延长AB交南北轴于点D,则AB⊥CD于点D
∵∠BCD=45°,BD⊥CD, ∴BD=CD,
在Rt△BDC中,
∵cos∠BCD=????,BC=60海里,
即cos45°=????60
????=
√2,解得2
CD=30√2海里,
∴BD=CD=30√2海里.
????在Rt△ADC中,∵tan∠ACD=????,
即tan60°=????30√2=√3,解得AD=30√6海里.
∵AB=AD-BD,
∴AB=30√6-30√2=30(√6?√2)海里. ∵海监船A的航行速度为30海里/小时, ∴渔船在B处需要等待的时间为
????30
=
30(√6-√2)30
=√6?√2≈2.45-1.41=1.04≈1.0小时.
故渔船在B处需要等待约1.0小时.
?导学号13814055?
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