(3) 过平衡点时，x?0，此时动能等于总能量
E?EK?Ep?1mv2=0.08 A?22?0.08?0.8m/s
0.25（加题）4. 一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k=25N/m,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时,求: (1) 振幅是多大? (2) 位移多大时,其势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时,势能是多大?
解: (1) 弹簧振子的总机械能为E?Ek?Ep?2(Ek?Ep)12,故kAA??0.253m 2k (2) Ep?Ek?21111A??0.179m E?kA2 kx2?kA2 x??22424121A2?0.20J (3) Ep?kx?k224波动部分：习题4.7、4.8、4.10
习题4.7有一平面简谐波在介质中传播，波速u = 100 m/s，波线上右侧距波源O（坐标原点）为75.0 m处的一点P的运动方程为
yp?(0.30m)cos[(2?s?1)t??/2]。
求（1）波向x轴正方向传播时的波动方程；（2）波向x轴负方向传播时的波动方程。
解：（1）设以波源为原点O，沿x轴正向传播的波动方程为 y?Acos???t?xu???0?
将 u = 100 m?s?1代人，且取x = 75 m得点P的运动方程为 yP?Acos???t?0.75s???0?
与题意中点P的运动方程比较可得 A = 0.30 m、??2?s?1、?0?2?。则所求波动方程为
?1?1 y?(0.30m)cos[(2?s)(t?x/100m?s)]
(2)当沿x轴负向传播时，波动方程为 y?Acos???t?xu???0?
将 x = 75 m、u?100ms?1代人后，与题给点P的运动方程比较得A = 0.30 m、??2?s?1、?0???，则所求波动方程为
y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)??]
讨论：对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点的运动方程，也可用下述方法来处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点（包括原点）都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已。在已知某点
???0?2??x/?初相?0的前提下，根据两点间的相位差????0，即可确定未知点的
?初相?0。
1习题4.8已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?s时的波形如题图所示，3且周期T为2s.
（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。
解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0
1由图形可知： t?s时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3，
3将此条件代入，所以：2?1?????0 所以?0? 333O点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m
（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3）A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：
A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0
1由图形可知： t?s时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，
3将此条件代入，所以：??2??15? ??A0 所以?A0??36A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］
可得到：xA?7?0.233m 30习题4.10 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；
（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。
解：(1) 由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ）
t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ=?? 3 t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ1=
? 2 代入振动方程， φ=??? ω＋φ= 32可得：ω=
5? T=2π/ω=12/5 6 则 y=0.5cos（
5??ｔ-）cm 635?5x?（ｔ+）-]cm 64348m 25?x（2）沿x轴负方向传播，波动表达式：y=0.5cos[
（3）根据已知的T=12/5，u?0.8m/s，可知：??那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差：???2?
??25??3.27rad 24（加题）1.如图，一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为y?3?10?2cos4?t(SI).
(1)以A点为坐标原点写出波方程；
(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 解：(1)坐标为x处质点的振动相位为
?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)]
波的表达式为 y?3?10?2cos4?[t?(x/20)](SI)
(2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 ?t??'?4?[t?x?5](SI) 20波的表达式为 y?3?10?2x?5??cos4??t??
20?? y?3?10?2cos[4?(t?x)??](SI) 20（加题）2. 一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为λ，P点处质点的振动规律如题图6－10所示.求:
（1）P点处质点的振动方程; （2）此波的波动方程；
（3）若图中d??/2,求O点处质点的振动方程.
分析 首先由已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。波动方程则由P与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。
解:（1）从图中可见T?4s,且t?0,ypo??A,??0??,则P点处质点的振动方程为
yp?Acos(2??t??)?Acos(t??)(SI) 42（2）向负方向传播的波动方程为
???4?x?d??? y?Acos??t????????2??（3）把d??/2,x?0代入波动方程即得
y0?Acost
2
（加题）3.两波在一很长的弦线上传播，其波方程分别为： y1?4.00?10?2cos?(4x?24t)(SI) y2?4.00?10?2cos?(4x?24t)(SI)
求：(1)两波的频率、波长、波速；(2)两波叠加后的波节位置；(3)叠加后振幅最大的那些点的位置.
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