解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0. (2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)， 则(x－2)＋y＝4，
2
2
PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，
即x＋y－2y－3＝0，即x＋(y－1)＝4， 因为|2－2|<
2
2
2
2
2
2－02＋
2
2
0－12<2＋2，
2
所以圆(x－2)＋y＝4与圆x＋(y－1)＝4相交， 所以点P的个数为2. [方法归纳]
1．有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 2．如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略： (1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； (2)动点P 对两定点A，B张角是90°(kPA·kPB＝－1)确定隐形圆； ―→―→(3)两定点A，B，动点P满足PA·PB＝λ确定隐形圆； (4)两定点A，B，动点P满足PA＋PB是定值确定隐形圆； (5)两定点A，B，动点P满足PA＝λPB(λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)； (6)由圆周角的性质确定隐形圆． [变式训练] 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为
上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于
率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
解：(1)是切线的斜如图，1，圆心在l22|3k＋1|3
由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
4k2＋1
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)＋[y－2(a－2)]＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO， 所以x2＋y－32＝2x2＋y2，
化简得x＋y＋2y－3＝0，
即x＋(y＋1)＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即
1≤a2＋2a－3
2≤3.
2
2
2
2
2
2
13 / 21
由5a－12a＋8≥0，得a∈R；122
由5a－12a≤0，得0≤a≤.
5
2
?12? 所以点C的横坐标a的取值范围为?0，?.
5??
圆中的定点、定值问题[例2] 已知圆M的方程为x＋(y－2)＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆
22M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝2时，求直线CD的方程； (3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
[解] (1)设P(2m，m)，因为∠APB＝60°，AM＝1，所以MP＝2，所以(2m)＋(m－2)＝4，解得m＝0或
2
2
m＝，
4
5
?84?故所求点P的坐标为P(0,0)或P?，?. ?55?
(2)易知直线CD的斜率存在，可设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)， 由题知圆心M到直线CD的距离为所以
2|－2k－1|＝， 21＋k2
2
， 2
1
解得k＝－1或k＝－，
7
故所求直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
?m?(3)证明：设P(2m，m)，MP的中点Q?m，＋1?， ?2?
因为PA是圆M的切线，
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
?m?22?m?22
故其方程为(x－m)＋?y－－1?＝m＋?－1?，
?2??2?
化简得x＋y－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式，
2
2
??x2＋y2－2y＝0，
故?
?2x＋y－2＝0，?
??x＝0，
解得?
?y＝2?
4
x＝，??5或?2
y＝??5.
?42?所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或?，?. ?55?
[方法归纳] 1与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点.解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程. 14 / 21 2与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明. [变式训练] 1．已知点P(2,2)，圆C：x＋y－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为
M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当OP＝OM时，求证：△POM的面积为定值． 解：(1)圆C的方程可化为x＋(y－4)＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
―→―→
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x,2－y)．
―→―→
由题设知CM·MP＝0， 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)＋(y－3)＝2. 由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)＋(y－3)＝2.
(2)证明：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
1
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
3
18
故l的方程为y＝－x＋.
33
410
又OM＝OP＝22，O到l的距离d为，
5
410
所以PM＝2OP2－d2＝，
5
116
所以△POM的面积为S△POM＝PM·d＝.
25
C：x＋y＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.
C相切，且与直线l垂直的直线方程；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2．已知圆(1)求与圆(2)在直线
OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点
常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
P，都有
PB
为一PA
解：(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，
即2x＋y－b＝0. 因为直线与圆C相切，
所以
|－b|22＋12
＝3，解得b＝±35.
所以所求直线方程为2x＋y±35＝0.
15 / 21
(2)法一：假设存在这样的点B(t,0)．
PB|t＋3|
当点P为圆C与x轴的左交点(－3,0)时，＝；
PA2PB|t－3|
当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时，＝.
PA8
|t＋3||t－3|
依题意，＝，
289
解得t＝－5(舍去)或t＝－.
5
PB?9? 下面证明点B?－，0?对于圆C上任一点P，都有为一常数．PA?5?
设P(x，y)，则y＝9－x，
PB2
所以＝
PA2
2
2
?x＋9?2＋y2?5???
188118
x2＋x＋9－x2＋·5x＋17
525259
＝＝＝.
x＋52＋y2x2＋10x＋25＋9－x22·5x＋1725
PB3
从而＝为常数．
PA5
PB2222222
法二：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数λ，则PB＝λPA，所以(x－t)＋y＝λ[(x＋5)＋
PA
y]，将y＝9－x代入，得
x－2xt＋t＋9－x＝λ(x＋10x＋25＋9－x)，
即2(5λ＋t)x＋34λ－t－9＝0对x∈[－3,3]恒成立，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
??5λ2＋t＝0， 所以?
?34λ2－t2－9＝0.?
3
λ＝，??5解得?9
t＝－??5
??λ＝1，
或?
?t＝－5?
(舍去)．
PB3?9? 故存在点B?－，0?对于圆C上任一点P，都有为常数.
PA5?5? 与直线或圆有关的最值或范围问题
[例3] (2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以
M为圆心的圆
M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
―→―→―→
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围． [解] 圆M的标准方程为(x－6)＋(y－7)＝25， 所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)． 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
2
2
圆N的标准方
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