（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________； （2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由； （3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写
出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．
【解答】解：（1）(－1，4)，3；
（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ ax＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．
（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．
（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m－1(m＜1)．
2
Q
图①
图②
14（2018河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
2
【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B，C两点的坐标，再代入y＝ax＋6x＋c中即
可求得抛物线的解析式；
（2） ①当A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P在直线BC上方”和“点P在直线BC下方”两种情况进行讨论求解；
②提示：作AC的垂直平分线，交BC于点M1，连接AM1，过点A作AN⊥BC于点N，将?ANM1沿AN翻折，得到?ANM2，点M1、M2的坐标即为所求．
【解答】解：（1）∵直线y?x?5交x轴于点B，交y轴于点C，∴ B(5，0)，C(0，－5)．
∵抛物线y?ax2?6x?c过点B，C，∴?2?0?25a?30?c?a??1，∴?，
??5?c?c??5∴抛物线的解析式为：y??x?6x?5．
（2）∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵抛物线y??x?6x?5交x轴于A，B两点，∴A(1，0)，∴AB＝4，∵AM⊥BC，∴AM＝22，∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC， 若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQ＝AM＝22， 过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝2PQ＝4． 设P(m，?m?6m?5)，则D(m，m?5)．分两种情况讨论如下： (ⅰ)当点P在直线BC上方时，
PD＝?m?6m?5??m?5???m?5m?4，∴m1?1(舍去)，m2?4
2222(ⅱ)当点P在直线BC下方时，
PD＝m?5??m2?6m?5?m2?5m?4，∴m1???5?415?41，m2?． 22综上，点P的横坐标为4或5?415?41或． 22②M(
1317237，?)或(，?)． 666615（2018?日照）如图，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；
（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；
（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．
?a?b?c?0?【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得?9a?3b?c?0，
?c?1?1?a???3?122?解得?a?，所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1． 333??c?1??1x＋1．过点P作PE⊥x轴312112于点E，交BC于D．设P(x，－x2＋x＋1)，则D(x，－x＋1)． ∴PD＝－x2＋x
3333311111＋1－(－x＋1)＝ －x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC)＝(－x2＋x)(3
332231313－0)＝－x2＋x．又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2
22224＝2．∴P1（1，），P2（2，1）．
3（2）∵B（3，0），C（0，1）， ∴直线BC的解析式为y＝－
（3）答：存在．理由：如图 ，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点． 设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝R＝5，∴yQ＝－（1＋5）＝－1－5，∵Q在直线x＝1上，
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