∴xQ＝1，∴Q（1，－1－5）．
16．. (2018福建)已知抛物线y?ax?bx?c过点A（0,2），且抛物线上任意不同两点
2M(x1,y1),N(x2,y2)都满足：当x1?x2?0时，(x1?x2)(y1?y2)?0；当0?x1?x2时，(x1?x2)(y1?y2)?0，以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，
且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y＝?23x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1?y2，解决以上问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．此时b＝0，c＝2，即可得到抛物线的解析式；
22（2）①先根据点M坐标为(x1,?x1?2)，点N坐标为(x2,?x2?2)，求出直线MN的解
析式，然后分别构造Rt△BEM与Rt△BFN，求出tan∠MBE与tan∠NBF的值，从而得到∠MBE＝∠MBE即可．②先确定△MBC外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0,2），∴c＝2，当x1?x2?0时，x1?x2?0，由
(x1?x2)(y1?y2)?0得y1?y2?0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理可得，当x
＞0时，y随x的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y轴且开口向下，则b＝0．∵O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，∴△ABC是等腰三角形，又∵△ABC有一个内
角为60°，故△ABC为等边三角形，且OC＝OA＝2．
设线段BC与y轴的交点为D，则BD＝CD，且∠OBD＝30°，所以BD＝OB·cos30°＝3，OD＝OB·sin30°＝1，∵点B在点C的左侧，所以点B坐标为(?3,?1)．∵点B在抛物线
y?ax2?bx?c上，且c＝2,b＝0,所以3a+2＝－1,解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式
为y??x?2．
22（2）①由（1）知，点M坐标为(x1,?x1?2)，点N坐标为(x2,?x2?2)，∵MN与直线
22y＝?23x平行，设直线MN的解析式为y＝?23x?m，则?x1?2＝?23x1?m，即
m＝?x12?23x1?2，∴直线MN的解析式为y?23x?x12?23x1?2，将y?23x?x12?23x1?2代入y??x2?2得，
?x2?23x?x12?23x1化为(x?3)2?(x1?3)2，解得x??x1，或x?x1?23，
∴x2?x1?23，则y2＝?(x1?23)?2＝?x1?43x1?10，作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足分别为E，F，∵点M，N位于直线BC的两侧，且y1?y2，则y2??1?y1?2，且
22?3?x1?x2，∴ME＝y1－（－1）＝?x12?3，BE＝x1?(?3)＝x1?3，
NF＝（－1）－y2＝x1?43x1?9，BF＝x2?(?3)?33?x1，
2ME?x12?3在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝?3?x1,
x1?3EB在Rt△BFN中，
x12?43x1?9(x1?23)2?3(x1?33)(x1?3)NF???3?x1, tan∠NBF＝＝BF33?x133?x133?x1∵tan∠MBE＝ tan∠NBF，∴∠MBE＝ ∠NBF， 即BC平分∠MBN．
②∵y轴为BC的垂直平分线，∴可设△MBC的外心为P（0，y0），则PB＝PM，即
PB2?PM2．由勾股定理可得(3)2?(y0?1)2?x12?(y0?y1)2因为x12?2?y1，∴
2y0?2y0?4?(2?y1)?(y0?y1)2，即y0?y1?1．由①知，?1?y1?2，∴2?33?y0?0，即△MBC的外心的纵坐标的取值范围为??y0?0． 2
2
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