初中数学几何的动点问题专题练习

当MP?MN时，如图4，这时MC?MN?MP?3．

此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．

当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?．

则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．

因此点P与F重合，△PMC为直角三角形． ∴MC?PMg tan30??1．此时，x?EP?GM?6?1?1?4．

综上所述，当x?2或4或5?3时，△PMN为等腰三角形． ···················· 10分

??9（09兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）Q（1，0） ······················································································· 1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度． ·········································································································· 2分 （2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．

y 在Rt△AFB中，AB?82?62?10 3分 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH．

DCAMFONQPHGxBE ∴BH?AF?6,CH?BF?8． ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12．

∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴

APAMMPtAMMP??． ??． ?ABAFBF10683434 ∴AM?t，PM?t． ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t．

5555设△OPQ的面积为S（平方单位）

13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2（0≤t≤10） ················································· 5分

251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

473<0 ∴当t??时， △OPQ的面积最大． ························· 6分 ?36102?(?)104710 ∵a?? 此时P的坐标为（

9453，） ． ····································································· 7分 15105295（4） 当 t?或t?时， OP与PQ相等． ················································· 9分

31310（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90o，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A

D

F

B E C 图1

G

B

E C 图2 A

D

F G

B 图3

C E G

F A

D

解：（1）正确．····················································· （1分） 证明：在AB上取一点M，使AM?EC，连接ME． （2分）

D A

?BM?BE．??BME?45°，??AME?135°．

F M QCF是外角平分线，

??DCF?45°，

B E C G ??ECF?135°．

??AME??ECF．

Q?AEB??BAE?90°，?AEB??CEF?90°， ??BAE??CEF．

． ··································································· （5分） ?△AME≌△BCF（ASA）

························································································ （6分） ?AE?EF． ·

（2）正确． ····················································· （7分） 证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN?CE，连接NE． ··································· （8分）

N F ?BN?BE． D A ??N??PCE?45°． Q四边形ABCD是正方形， ?AD∥BE．

B C E G

??DAE??BEA． ??NAE??CEF．

． ································································· （10分） ?△ANE≌△ECF（ASA）

······················································································ （11分） ?AE?EF． ·

11（09天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中

?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； y

B

x O A （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

B y x O A

（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标． y B O A x

解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD.

设点C的坐标为?0，m??m?0?. 则BC?OB?OC?4?m. 于是AC?BC?4?m.

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC?OC?OA， 即?4?m??m2?22，解得m?22223. 2?3??点C的坐标为?0，?. ··················································································· 4分

2??（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B?,

则△B?CD≌△BCD. 由题设OB??x，OC?y， 则B?C?BC?OB?OC?4?y，

在Rt△B?OC中，由勾股定理，得B?C?OC?OB?.

222??4?y??y2?x2，

12··························································································· 6分 x?2 ·

8由点B?在边OA上，有0≤x≤2，

1? 解析式y??x2?2?0≤x≤2?为所求.

8即y??2? Q当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

3···································································· 7分 ?y的取值范围为≤y≤2. ·

2（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B??，且B??D∥OB. 则?OCB????CB??D. 又Q?CBD??CB??D，??OCB????CBD，有CB??∥BA. ?Rt△COB??∽Rt△BOA. OB??OC?有，得OC?2OB??. ·································································· 9分 OAOB在Rt△B??OC中，

设OB???x0?x?0?，则OC?2x0. 由（Ⅱ）的结论，得2x0??12x0?2， 8解得x0??8?45．Qx0?0，?x0??8?45. ?点C的坐标为0，85?16. ··································································· 10分

??12（09太原）问题解决 F

M D 如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边A 上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当CE1AME 的值． ?时，求

CD2BN B C 方法指导： N

为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 图（1）

BN

类比归纳

CE1AMCE1AM在图（1）中，若则的值等于 ；若则的?，?，CD3BNCD4BNCE1AM值等于 ；若，则的值等于 ．（用含?（n为整数）

CDnBNn的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，DAB1CE1AM重合），压平后得到折痕MN，设则的值等??m?1?，?，BCmCDnBN于 ．（用含m，n的式子表示） F

M D A

E

B C N

图（2）

解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．

F M A D

B

N 图（1-1）

C E