第3讲 合情推理与演绎推理
分层训练A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．(2013·金陵中学模拟)观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…， 这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________． 解析 9－1＝(1＋2)－1＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)－2＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)
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－3＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)－4＝4×(5＋1)，…，一般地，有(n＋2)－n＝4(n＋1)(n∈N)．
答案 (n＋2)－n＝4(n＋1)(n∈N)
2．(2011·南京模拟)在共有2 013项的等差数列{an}中，有等式(a1＋a3＋…＋a2 013)－(a2
＋a4＋…＋a2 012)＝a1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{bn}中，相应的有等式________成立．
解析 将等式中加、减换成乘除可得
2
2
*
*
b1·b3·b5·…·b2 011
＝b1 006.
b2·b4·b6·…·b2 010
答案
b1·b3·b5·…·b2 011
＝b1 006
b2·b4·b6·…·b2 010
3．(2012·苏锡镇调研(一))若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列??为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}
n2?n?的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则数列{Tn}为等比数列，通项为________． 解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得Tn＝b1(q)答案
?Sn?
Sndnnn－1
.
nTn＝b1(q)n－1
4．(2011·常州七校联考)如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的
fx1＋fx2＋…＋fxn?x1＋x2＋…＋xn?成立．已知函数yx1，x2，…，xn，有≤f??nn??
＝sin x在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析 由凸函数定义，知sin A＋sin B＋sin C≤ 3sin?
?A＋B＋C?＝33.
?
?3?2
1
答案
33 2
*
5．(2011·南京外国语调研)将正奇数排列如图形式，其中第i行第j个数表示aij(i∈N，j∈N)，例如a32＝9，若aij＝2 009，则i＋j＝________.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
…
解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i行(其中i∈N)，则1＋2＋3＋…＋(i－1)＝＞1 005②；
验证i＝45时，①②式成立，所以i＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j－1)＝2 009，∴j＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i＋j＝60； 答案 60
6．(2012·镇江调研一)圆x＋y＝r在点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r，类似地，可以求得椭圆＋＝1在(2,1)处的切线方程为________．
82解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：代入点坐标，所求切线方程为：＋＝1.
42答案 ＋＝1
42
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两1
边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边
21
且等于第三边的；……
2
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； 1
(2)四面体的体积V＝×底面积×高；
3
1
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
4
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2
2
**
ii－1
2
＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i＝
ii＋1
2
x2y2
x0xy0y8＋2
＝1，
xyxy8．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且
a1＝2，公和为5，(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.
解 (1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2， 公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3. (2)当n为偶数时，
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)
当n为奇数时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
5??2n n为偶数
综上所述：S＝?51
??2n－2 n为奇数.
n525212
，
分层训练B级 创新能力提升
1427m1．已知m＞0，不等式x＋≥2，x＋2≥3，x＋3≥4，可推广为x＋n≥n＋1，则m的值为
xxxx________．
4xx427xxx27
解析 x＋2＝＋＋2，x＋3＝＋＋＋3，易得其展开后各项之积为定值1，所以
x22xx333x可猜想出x＋n＝＋＋…＋＋n，也满足各项乘积为定值1，于是m＝n. 答案 n
2．(2010·福建)观察下列等式： ①cos 2α＝2cosα－1；
②cos 4α＝8cosα－8cosα＋1；
③cos 6α＝32cosα－48cosα＋18cosα－1；
④cos 8α＝128cosα－256cosα＋160cosα－32cosα＋1；
⑤cos 10α＝mcosα－1 280cosα＋1 120cosα＋ncosα＋pcosα－1. 可以推测m－n＋p＝________. 解析 m＝2＝512，p＝5×10＝50.
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6
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2
4
2
2
mxxxnnxmnxnn又m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400. 答案 962
3．(2011·苏北调研)如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________．
1 2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 … … … …
解析 观察数表可知，每行数分别构成公差为222，2，…的等差数列，所以第13行的公差为2.
又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×28＝2＋2×2,20＝2＋3×248＝2＋4×2256＝2＋5×2，…故第13行第一个数为2＋12×2＝7×2，第10个数为7×2＋9×2＝16×2＝2. 答案 2(或65 536)
4．(2011·苏锡常镇扬五市调研)已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，点G是△ABC外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M是△BCD的三边中线交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________”．
解析 如图，设四面体ABCD的棱长为a，则由M是△BCD的重心，得BM＝
366a，AM＝a，设OA＝R，则OB＝R，OM＝3336?3?2?6?2
a?＋?a－R?，解得R＝a，
4?3??3?
1612
16
5
4
12
11
12
12
12
0,
2
3
2,
4
3,
12
0,1,2
3
AGGDAOOMa－R，于是由R2＝?
6a4
所以＝
AOOM66a－a34
＝3.
答案 3
5．在等差数列{an}中，Sn是其前n项的和，则，，成等差数列．在等比数列{bn}中写
n2n3n出类似的结论，并给出证明．
1
1
1
SnS2nS3n解 设各项为正数的等比数列中，Tn是其前n项的积，则(Tn)n，(T2n)2n，(T3n)3n成等比数列．
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