（2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠?。
n(a1?an)SS1,则n?(a1+an),这表明点(an,n)2n2nS111的坐标适合方程y?(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。
222n解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=
11?y?x?a1??22（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组?的解，由方程?1x2?y2?1??42*
组消去y得：2a1x+a1=－4()，
当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=?；
?4?a1当a1≠0时，方程()只有一个解x=
2a1*
22??4?a1?y?2a1?,此时，方程组也只有一解?,2?y?a1?4?4a1?故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
Sn >0，这时集n合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠?，
（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0,
?4?a1a?x032那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=??＜0,y0=1?＜
2a15240，这样的(x0,y0)?A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=?，所以a1≠0时，一定有A∩B≠?是不正确的。
点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。 变式题：解答下述问题： （Ⅰ）设集合A?{x|x?2x?2m?4?0},B?{x|x?0},，若A?B??,求实数m的取值范围.
分析：关键是准确理解A?B? 的具体意义，首先要从数学意义上解释A?B?的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解：
22
命题?方程x2?2x?2m?4?0至少有一个负实数根,设M?{m|关于x的方程x2?2x?2m?4?0两根均为非负实数}, ???4(?2m?3)?0?3?则?x1?x2?2?0??2?m??,2???x1x2?2m?4?033?M?{m|?2?m??}设全集U?{m|??0}?{m|m??} 22?m的取值范围是
UM={m|m<-2}.
(解法二)命题?方程的小根x?1??2m?3?0??2m?3?1??2m?3?1?m??2.2
（解法三）设f(x)?x?2x?4,这是开口向上的抛物线，?其对称轴x?1?0，则二次函数性质知命题又等价于f(0)?0?m??2,
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4
2222若A?B?{a1,a4},且a1?a4?10,且A?B的所有元素之和是124,求集合A、B.
分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，
?1?a1?a2?a3?a4,?a1?a2?a3?a4,?A?B?{a1,a4},?只可能有a1?a1?a1?1,2而a1?a4?10,?a4?9,?a4?a4,2(1)若a2?a4,则a2?3,?A?B?{1,3,a3,9,a3,81},222222
?a3?a3?94?124?a3?5;(2)若a3?a4,则a3?3,同样可得a2?5?a3,与条件矛盾,不合;综上,A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.（Ⅲ）设集合A?{(x,y)|y?x?1},B?{(x,y)|4x?2x?2y?5?0},
2222C?{(x,y)|y?kx?b},问是否存在自然数k,b,使(A?B)?C?试证明你的结论.分析：正确理解(A?B)?C?,
,并转化为具体的数学问题.
,必须A?C?且B?C?,
要使(A?B)?C?(A?C)?(B?C)??y2?x?1?k2x2?(2kb?1)x?b2?1?0, 由??y?kx?b当k=0时，方程有解x?b?1,不合题意；
24k2?1当k?0时由?1?(2kb?1)?4k(b?1)?0得b?①
4k222?4x2?2x?2y?5?0?4x2?2(1?k)x?5?2b?0, 又由??y?kx?b20?(k?1)2由?2?4(1?k)?16(5?2b)?0得b?②，
82由①、②得b?k?120?1,而b?, 4k8∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 题型6：课标创新题
例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？
解：设集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中间的位置}， D={丙站在正中间的位置}，
则集合A、B、C、D的关系如图所示， ∴不同的排法有A7?4A6?4A5?2640种.
765
点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。
例14．A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意
x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2) ； ②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，
都有|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|
（1）设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A
（2）设?(x)?A,如果存在x0?(1,2),使得x0??(2x0),那么这样的x0是唯一的; （3）设?(x)?A,任取xl?(1,2),令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk?l解：
对任意x?[1,2],?(2x)?31?2x,x?[1,2],33??(2x)?35,1?33?35?2,所以?(2x)?(1,2)
Lk?1?xk|?|x2?x1|H。
1?L对任意的x1,x2?[1,2]，
|?(2x1)??(2x2)|?|x1?x2|23?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2，
3?
3?1?2x1?23?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?，
3? 所以0<
2?1?2x1?22?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?22?2, 3令
3?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2???1?x2?3=L，
0?L?1，|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|
所以?(x)?A
??(1,2),x0?x0?使得x0??(2x0),x0???(2x0?)。 反证法：设存在两个x0,x0则由|?(2x0)??(2x0)|?L|x0?x0|，
得|x0?x0|?L|x0?x0|，所以L?1，矛盾，故结论成立。
////x3?x2??(2x2)??(2x1)?Lx2?x1，
所以xn?1?xn?Ln?1x2?x1
Lk?1|xk?p?xk|??xk?p?xk?p?1???xk?p?1?xk?p?2????xk?1?xk??|x2?x1|
1?L?xk?p?xk?p?1?xk?p?1?xk?p?2??xk?1?xk
?Lk?p?2x2?x1?Lk?p?3x2?x1+?Lk?1x2?x1
LK?1?x2?x1。 1?L点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖
五．【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如?、?、
?、、=、CSA、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2n－1, 所有非空真子集的个数是2n?2
④区分集合中元素的形式： 如A?{x|y?x2?2x?1}； B?{y|y?x2?2x?1}；
C?{(x,y)|y?x2?2x?1}；
D?{x|x?x2?2x?1}；
E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；
F?{(x,y')|y?x2?2x?1}；
yG?{z|y?x2?2x?1,z?}。
x⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了
A??的情况。
⑥符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力
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