2020高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-4离散型随机变量及其分布列教师用书理新人教

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布

12-4离散型随机变量及其分布列教师用书理新人教

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②i＝1.

3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布

若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

X P 0 1－p 1 p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，

X P 0 C0MCnN－M0 CnN1 C1MCnN－M1 CnN… … m CmMCnN－Mm CnN则称随机变量X服从超几何分布． 【思考辨析】

2019年

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )

(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( × )

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )

(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )

1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是( ) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点

C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 答案 C

解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．

2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( ) A．0 B. C. D.3 答案 C

解析 设X的分布列为

X P 0 1 2p 2

p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C. 3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( ) A．17个 B．18个 C．19个 D．20个

2019年

答案 A

解析 X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．

4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为

X P 0 1 2 答案 0.1 0.6 0.3

解析 ∵X的所有可能取值为0,1,2， ∴P(X＝0)＝＝0.1，

P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.

∴X的分布列为

X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______． 答案

27 220

解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝＝.

题型一 离散型随机变量的分布列的性质

例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X P －1 1 30 2－3q 1 q2 则q等于( ) A．1 C.－ 答案 C

B.±D.＋33 633 6

2019年

解析 ∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求2X＋1的分布列． 解 由分布列的性质知

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为

X 2X＋1 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 从而2X＋1的分布列为

2X＋1 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 P 引申探究

1．在本例(2)的条件下，求随机变量η＝|X－1|的分布列． 解 由(2)知m＝0.3，列表

X |X－1| 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的分布列为

η P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 2.若本例(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列． 解 依题意知η的值为0,1,4,9,16.

P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2， P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1， p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，

2019年

P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，

η P 0 0.2 1 0.1 4 0.1 9 0.3 16 0.3 思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．

设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝

1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P(X≥)； (3)求P(

解 (1)由分布列的性质，得P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.

(2)P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P(

例2 (2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，

2019年

其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．

解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为 X P 0 7 151 7 152 1 15命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法

例3 (2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．

解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，

P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)

＝1－－＝. 故X的分布列为

2019年 X P 200 1 10300 3 10400 3 5命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法

例4 (2016·蚌埠模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．

解 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．

则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)

＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4) ＝2＋×2＋××2＝.

(2)X的可能取值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)

＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，

P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)

＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，

P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)

＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

故X的分布列为

X P 2 5 93 2 94 10 815 8 81思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；

2019年

(2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列．

求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

(2016·湖北部分重点中学第一次联考)连续抛

掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；

(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列． 解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.

A1，A2，A3为互斥事件，则

P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C()3＋C··C··C·＋C()2·＝.

(2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，

P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝()2＋2×C××＝， P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.

故ξ的分布列为

ξ

6 4 2 0 2019年 P 1 65 365 10835 54题型三 超几何分布

例5 (2017·济南质检)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值(微克/立方米) 频数 3 1 1 1 1 3 [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A， 则P(A)＝＝.

(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

ξ

0 1 2 3 2019年 P 7 2421 407 401 120思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同

学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同)

(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 解 (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A， 则P(A)＝＝.

故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

2019年

∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝.

故随机变量X的分布列是

X P 0 1 61 1 22 3 103 1 3017．离散型随机变量的分布列

典例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 错解展示 现场纠错

解 P(ξ＝1)＝0.9，

P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P(ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.

∴ξ的分布列为

ξ P 1 0.9 2 0.09 3 0.009 4 5 0.000 9 0.000 1 纠错心得 (1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．

(2)验证随机变量的概率和是否为1.

1．(2016·太原模拟)某射手射击所得环数X的分布列为

X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51

2019年

答案 C

解析 根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 2．(2016·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X P －1 1 20 1－2q 1 q2 则q等于( )

A．1 B．1± C．1－ D．1＋2答案 C

1－2q≥0，??

解析 由题意知?1

＋1－2q＋q2＝1，??2

2

即解得q＝1－.

3．(2016·郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2

解析 由分布列的性质知，

1

＋＋＋＝1， 2a

1

则a＝5，

∴P(2

4．(2016·湖北孝感汉川期末)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则实数a的值为( ) A．1 B. C. D.13 答案 D

解析 ∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3， ∴a[＋()2＋()3]＝1，

27

2019年

解得a＝.故选D.

5．(2017·武汉调研)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是( ) A. B. C. D.343 答案 C

解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.

6．(2017·长沙月考)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是( ) A．P(X＝3) C．P(X≤3) 答案 D

解析 由超几何分布知P(X＝2)＝.

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3

解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，

B．P(X≥2) D．P(X＝2)

36

X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，

X＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对， X＝2，甲抢到2题均答对， X＝3，甲抢到3题均答对．

8．随机变量X的分布列如下：

X P

－1 0 1 a b c 2019年

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________． 答案 [－，]

解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，∴b＝， ∴P(|X|＝1)＝a＋c＝. 又a＝－d，c＝＋d，

根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤， ∴－≤d≤.

9．设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________. 答案 0.5

解析 由分布列的性质，知

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0， ∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0) ＝P(X＝4)＋P(X＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.

10．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________. 答案

13

35

解析 P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.

11．(2015·山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者

2019年

得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．

解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84， 随机变量X的取值为0，－1,1，因此

P(X＝0)＝＝， P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝.

所以X的分布列为