§1.2 充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件的概念
一般地,如果p?q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件
p?q,且q?p p?q,且q?p p?q p?q,且q?p 概念方法微思考
若条件p,q以集合的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则由A?B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系. 提示 若AB,则p是q的充分不必要条件； 若A?B,则p是q的必要条件； 若AB,则p是q的必要不充分条件； 若A＝B,则p是q的充要条件；
若A?B且A?B,则p是q的既不充分又不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ ) (2)已知集合A,B,则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( √ ) (3)q不是p的必要条件时,“p?q”成立.( √ ) (4)若p?q,则p是q的充分不必要条件.( × ) 题组二 教材改编
2.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要
3.“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分
4.函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. 答案 m＝－2 题组三 易错自纠
5.设x＞0,y∈R,则“x＞y”是“x＞|y|”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 C
解析 由x＞y推不出x＞|y|,由x＞|y|能推出x＞y,所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件. 6.(多选)设x∈R,则x＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x＜1 B.x＞1 C.x＞－1 D.x＞3 答案 BC
?1x?
<3<27，x∈R?,B＝{x|－1＜x＜m＋1,m∈R},若x∈B成立的一个充分不7.已知集合A＝?x??3
?
?
必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是____________. 答案 (2,＋∞)
?1x?
<3<27，x∈R?＝{x|－1＜x＜3},x∈B成立的一个充分不必要条件是解析 因为A＝?x??3
?
?
x∈A,
所以AB,所以m＋1＞3,即m＞2.
充分、必要条件的判定
1.设命题p:x＞4；命题q:x2－5x＋4≥0,那么p是q的______________条件.(选填“充分不必
要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要
解析 由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4,可知{x|x＞4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集,∴p是q的充分不必要条件.
2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件 C.充分不必要条件 答案 D
解析 非有志者不能至,是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. 1?x
3.设p:??2?＜1,q:log2x＜0,则p是q的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B
1?x解析 由??2?＜1知x＞0,所以p对应的集合为(0,＋∞),由log2x＜0知0＜x＜1,所以q对应的集合为(0,1),显然(0,1)(0,＋∞),所以p是q的必要不充分条件.
4.若集合A＝{x|x2－6x＋5＜0},B＝{x||x－a|＜1},则“a∈(2,3)”是“B?A”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案 A
解析 A＝{x|1＜x＜5},B＝{x|a－1＜x＜a＋1}.
??a－1≥1，∵B?A,∴?即2≤a≤4,
?a＋1≤5，?
B.既不充分又不必要条件 D.必要不充分条件
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
∵(2,3)[2,4],∴“a∈(2,3)”是“B?A”的充分不必要条件. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
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