充分、必要条件的应用
例1 已知P＝{x|x2－8x－20≤0},非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10, ∴P＝{x|－2≤x≤10}.
由x∈P是x∈S的必要条件,知S?P. 1－m≤1＋m，??
则?1－m≥－2， ∴0≤m≤3.??1＋m≤10，
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件, 即所求m的取值范围是[0,3].
若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P
是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P＝S,
??1－m＝－2，∴?方程组无解, ?1＋m＝10，?
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练1 (1)已知p:1≤x≤2,q:(x－a)(x－a－1)≤0,若p是q的充要条件,则实数a的值为________. 答案 1
解析 q:(x－a)(x－a－1)≤0,∴a≤x≤a＋1.
??a＝1，由p是q的充要条件知?∴a＝1.
?a＋1＝2，?
x－1
(2)设p:|2x＋1|＜m(m＞0)；q:＞0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为
2x－1__________. 答案 (0,2]
解析 由|2x＋1|＜m(m＞0),得－m＜2x＋1＜m, m＋1m－1m＋1∴－＜x＜,且－＜0,
222由
x－11
＞0,得x＜或x＞1.
22x－1
∵p是q的充分不必要条件, ∴
m－11
≤,∴0＜m≤2. 22
充要条件的探求
例2 已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件.
解 因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程, 所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0,且两方程都要有实根,
??Δ1＝16?1－m?≥0，所以?
?Δ2＝16m2－4?4m2－4m－5?≥0，?
5
－，1?. 解得m∈??4?因为两方程的根都是整数, 故其根的和与积也为整数,
??
所以?4m∈Z，
??4m－4m－5∈Z.
2
4
∈Z，m
所以m为4的约数. 5
－，1?, 又因为m∈??4?所以m＝－1或1.
当m＝－1时,第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数； 而当m＝1时,两方程的根均为整数,
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况,保证条件的充分性和必要性.
跟踪训练2 (1)命题“对任意x∈[1,2),x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a≥4 C.a≥1 答案 B
解析 要使“对任意x∈[1,2),x2－a≤0”为真命题,只需要a≥4,所以a＞4是命题为真的充分不必要条件.
(2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 ac＜0
Δ＝b2－4ac>0，??解析 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是?c
<0.??a即ac＜0.
B.a＞4 D.a＞1
1.“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案 A
353
解析 由log2(2x－3)＜1?0＜2x－3＜2?＜x＜,4x＞8?2x＞3?x＞,所以“log2(2x－3)＜
2221”是“4x＞8”的充分不必要条件,故选A. 2.设a,b∈R,则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A
解析 由(a－b)a2＜0可知a2≠0,则一定有a－b＜0,即a＜b；但是a＜b即a－b＜0时,有可能a＝0,所以(a－b)a2＜0不一定成立,故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件,故选A. 3.“|x－1|＜2”是“x＜3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案 A
解析 由|x－1|＜2,可得－1＜x＜3,
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