易错点5 问题考虑不全面致错
已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离
为 . 【错解】2
如图，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，OC?102?62?8.在Rt△DOF中，OD?102?82?6.所以CD=OC?OD=8?6=2，故这两个截面圆间的距离为2.
【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.
【试题解析】如上图，设球的大圆为圆O，C，D为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.
当两截面在球心同侧时，CD?OC?OD?102?62?102?82?2； 当两截面在球心两侧时，CD?OC?OD?102?62?102?82?14. 综上可知，两截面圆间的距离为2或14. 【参考答案】2或14
1．球的有关问题
（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已
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知球的体积或表面积也可以求其半径. （2）球与几种特殊几何体的关系：
①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； ②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；
③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d?2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.
R2?r2.
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 m，BC＝3 m，BB1＝5 m，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，则蚂蚁爬行的最短路程为________．
【答案】74 m
10
【解析】沿长方体的一条棱剪开，使点A和点C1展在同一个平面上，求线段AC1的长即可，如图所示有三种剪法：
①如图(1)所示，若沿C1D1剪开，使面AB1与面A1C1在同一个平面内， 可求得AC1?42?(5?3)2?80(m).
②如图(2)所示，沿AD剪开，使面AC与面BC1在同一个平面内，
22可求得AC1?3?(5?4)?90(m)．
③如图(3)所示，沿CC1剪开，使面BC1与面AB1在同一个平面内，
22可求得AC1?5?(4?3)?74(m)．
故蚂蚁爬行的最短路线长为74 m.
将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键．
本题容易忽略长方体表面具有不同的展开方式，不同的展开方式具有不同的最短路程，将各值比较后，所得的最小值就是最短路程．
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易错点6 应用公理或其推论时出错
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一
定共面吗？
【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.
因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内， 因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，
所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面.
【错因分析】错解忽略了公理2中―不在一条直线上的三点‖这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线. 【试题解析】（1）如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α. 因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内， 因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，
所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面. （2）若B，C，D三点共线于l，
若A?l，E?l，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面； 若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面. 【参考答案】见试题解析.
在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.
1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面
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