?1?01?xdx???21?x4211d(x?)d(x?)x?1x
?02112?(x?)22?(x?)2xx220d(t)dt? 2?t2???2?t2 ?? ????21(??arctan) ． 22注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．
例41 求由曲线y?图形的面积．
分析 若选x为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y为积分变量．
解 选取y为积分变量，其变化范围为y?[1,2]，则面积元素为
dA=|2y??2?1?1?21x，y?3x，y?2，y?1所围成的2y3y?3xy?2y?1o1y?x221234x?3图5－1
11y|dy=(2y?y)dy．
33
2 15A??(2y?y)dy=．
132于是所求面积为
yx?y?822例42 抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分，求这两部分面积之比．
解 抛物线y?2x与圆x?y?8的交点分别为(2,2)与
2222y2?2xA21?2?1o?1?21A12x(2,?2)，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分A1，A2，
记它们的面积分别为S1，S2，则有
22(2,?2) 图5－2
?84y24S1=?(8?y?)dy=8?4?cos2?d??=?2?，S2?8??A1=6??，于是
?2?333244?2?S133??2==．
49??2S26??3例43 求心形线??1?cos?与圆??3cos?所围公共部分的面积．
分析 心形线??1?cos?与圆??3cos?的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解 求得心形线??1?cos?与圆??3cos?的交点为
??1?cos??1y21??3cos???o?3123x?13?(?,?)=(,?)，由图形的对称性得心形线??1?cos?与
23圆??3cos?所围公共部分的面积为
?1152A=2[?03(1?cos?)d????2(3cos?)2d?]=?．
2432? 图5－3
例44 求曲线y?lnx在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线x?2，x?6和曲线y?lnx所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．
分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．
解 设所求切线与曲线y?lnx相切于点(c,lnc)，则切线方程为y?lnc?(x?c)．又切线与直线x?2，x?6和曲线
yy?lnx321(c,lnc)o?11234567xx?2x?6
图5－4
1cy?lnx所围成的平面图形的面积为
614A=?[(x?c)?lnc?lnx]dx=4(?1)?4lnc?4?6ln6?2ln2．
2cc由于
dA1644=?2?=?2(4?c)，
cdccc令
dAdAdA?0，解得驻点c?4．当c?4时?0，而当c?4时?0．故当c?4时，A取得dcdcdc1x?1?ln4． 4yx2?(y?b)2?a2(b?a?0)极小值．由于驻点唯一．故当c?4时，A取得最小值．此时切线方程为：
y?例45 求圆域x2?(y?b)2?a2（其中b?a）绕x轴旋转而成的立体的体积．
解 如图5－5所示，选取x为积分变量，得上半圆周的方程为
(0,b)oxy2?b?a2?x2，
下半圆周的方程为
图5－5
y1?b?a2?x2．
则体积元素为
2dV=(?y2??y12)dx=4?ba2?x2dx．于是所求旋转体的体积为
aaV=4?b??aa?xdx=8?b?220a?xdx=8?b?22?a24=2?2a2b．
注 可考虑选取y为积分变量，请读者自行完成．
例46（03研） 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D．
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积
o12y11y?xey?lnx3y?lnxxA，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行
计算，如图5－6所示．
图5－6
解 （1）设切点横坐标为x0，则曲线y?lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是
y?lnx0?1(x?x0)． x01由该切线过原点知lnx0?1?0，从而x0?e，所以该切线的方程是y?x．从而D的面积
eA??(ey?ey)dy?01e?1． 21（2）切线y?x与x轴及直线x?e围成的三角形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为
e1V1??e2，
3曲线y?lnx与x轴及直线x?e围成的图形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为
111V2???(e?ey)2dy??(?e2?2e?)．
022因此，所求体积为
V?V1?V2??6(5e2?12e?3)．
z例47 有一立体以抛物线y2?2x与直线x?2所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．
解 选x为积分变量且x?[0,2]．过x轴上坐标为x的点作垂直于x轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x，得等边三角形的面积为
xyy?2x2ox?2 图5－7
A(x)=223(22x)2=23x． 4于是所求体积为 V=?A(x)dx=?23xdx=43．
00例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k，k?0），汽锤第一次击打进地下a（m），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0?r?1）．问：
（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．
解 （1）设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn（n?1，．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 2，?）
x1x2kkkk W1??kxdx?x12?a2，W2??kxdx?(x22?x12)?(x12?a2)．
0x12222由W2?rW1得
x22?x12?ra2，即 x22?(1?r)a2，
x3kkW3??kxdx?(x32?x22)?[x32?(1?r)a2]．
x222由W3?rW2?r2W1 得
x32?(1?r)a2?r2a2，即 x32?(1?r?r2)a2．
从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下x3?a1?r?r2（m）．
（2）问题是要求limxn，为此先用归纳法证明：xn?1?a1?r???rn．
n??假设xn?1?r???rn?1a，则
Wn?1??xn?1xnkkkxdx?(xn?12?xn2)?[xn?12?(1?r?...?rn?1)a2]．
22由
Wn?1?rWn?r2Wn?1?...?rnW1，
得
xn?12?(1?r?...?rn?1)a2?rna2．
从而
xn?1?1?r???rna.
1?rn?1aa?于是limxn?1?lim．
n??n??1?r1?r若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下a1?r(m)．
例49 有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．
解 建立如图5－8所示的坐标系，选取x为积分变量．则过点
A(0,3)，B(10,1)的直线方程为y??15x?3．
于是闸门上对应小区间[x,x?dx]的窄条所承受的水压力为dF?2xy?gdx．
故
闸
门
所
受
水
压
力
为
F=2?g?1015000x(?5x?3)dx=
3?g，其中?为水密度，g为重力加速度．
oA(0,3)yxx?dxB(10,1)x图5－8
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