(完整word版)2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案

24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）

答案和解析

【答案】

1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B 13.

14.②③④ 15.1和3 16.1-ln2 17.解：（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28． 可得a4=4，则公差d=1． an=n，

bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0， b11=[lg11]=1， b101=[lg101]=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1． b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．

数列{bn}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893． 18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），

上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费， ∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得： 一续保人本年度的保费高于基本保费的概率： p1=1-0.30-0.15=0.55．

（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，

由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15， 由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费， 则其保费比基本保费高出60%的概率：

p2=P（B|A）===．

（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：

=1.23，

∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23． 19.（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，

高中数学试卷第5页，共15页

∴AD=DC，又AE=CF=， ∴

，则EF∥AC，

又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD， ∴EF⊥DH，则EF⊥D′H， ∵AC=6， ∴AO=3，

又AB=5，AO⊥OB， ∴OB=4， ∴OH=

2

2

，则DH=D′H=3，

2

∴|OD′|=|OH|+|D′H|，则D′H⊥OH， 又OH∩EF=H，

∴D′H⊥平面ABCD；

（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵AB=5，AC=6，

∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），

，

设平面ABD′的一个法向量为

，

，

由∴

，得．

，取x=3，得y=-4，z=5．

同理可求得平面AD′C的一个法向量设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，

，

则|cosθ|=．

∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．

20.解：（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），

2222

直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k）x+16kx+16k-12=0， 解得x=-2或x=-，则|AM|=

?|2-|=

?

，

由AN⊥AM，可得|AN|=?=?，

高中数学试卷第6页，共15页

由|AM|=|AN|，k＞0，可得

2

?

2

=?，

整理可得（k-1）（4k-k+4）=0，由4k-k+4=0无实根，可得k=1， 即有△AMN的面积为|AM|=（（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+可得（3+tk）x+2t

2

2

2

222

?）=

2

；

），代入椭圆方程，

kx+tk-3t=0，

解得x=-即有|AM|=

或x=-?|

， -|=

?

，

|AN|═?=?，

由2|AM|=|AN|，可得2?=?，

整理得t=，

＜0，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）． 21.解：（1）证明：f（x）=

f'（x）=e（

x

）=

∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0 ∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增 ∴x＞0时，

x

＞f（0）=-1

即（x-2）e+x+2＞0 （2）g'（x）=a∈[0，1]

由（1）知，当x＞0时，f（x）=

=

的值域为（-1，+∞），只有一解使得 ，t∈[0，

2]

当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减； 当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；

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h（a）===

记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，

故k（t）单调递增，

所以h（a）=k（t）∈（，]． 22.（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE， ∴Rt△DFC∽Rt△EDC， ∴

=

，

∵DE=DG，CD=BC， ∴

=

，

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF， ∴△GDF∽△BCF， ∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°， ∴∠GFB+∠GCB=180°， ∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，

∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．

23.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2

+y2

=25，

∴x2+y2

+12x+11=0，

∵ρ2=x2+y2

，x=ρcosα，y=ρsinα，

∴C的极坐标方程为ρ2

+12ρcosα+11=0．

（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），

∴直线l的一般方程y=tanα?x， ∵l与C交与A，B两点，|AB|=

，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，

解得tan2

α=，∴tanα=±

=±．

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