解三角形
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：
5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理，得cosA＝b2?c2?a22bc?12，所以∠A＝60°. 因为sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，
所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，
即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC. 所以sin(B－C)＝0，故B＝C. 故△ABC是正三角形. 二、填空题
6．30° 7．120° 8．245 9．55 10．3
三、解答题
11．(1)由余弦定理，得c＝13；
(2)由正弦定理，得sinB＝23913. 12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；
(2)由向量减法几何意义，
知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，
所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，
故|a－b|＝7.
13．(1)如右图，由两点间距离公式，
得OA?(5?0)2?(2?0)2?29， 同理得OB?145,AB?232. 由余弦定理，得
OA2?AB2?OB2cosA?2?OA?AB?22,
所以A＝45°.
故BD＝AB×sinA＝229.
(2)S1△OAB＝
2·OA·BD＝12·29·229＝29. 14．由正弦定理
asinA?bsinB?csinC?2R，
5
得
a2R?sinA,b2R?sinB,c2R?sinC. 因为sin2A＋sin2B＞sin2C，
所以(a2R)2?(b2R)2?(c2R)2， 即a2＋b2＞c2. 所以cosC＝a2?b2?c22ab＞0，
由C∈(0，π)，得角C为锐角.
15．(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点，如图，
则|AP|＝4t，|BQ|＝4t，因为|OA|＝3，所以t＝?4h时，P与O重合. 故当t∈[0，
?4]时， |PQ|2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°； 当t＞
?4h时，|PQ|2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.故得|PQ|＝48t2?24t?7(t≥0). (2)当t＝??242?48?14h时，两人距离最近，最近距离为2km. 16．(1)由正弦定理
asinA?bsinB?csinC?2R， 得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. 所以等式cosBcosC??b2a?c可化为cosB2RsinBcosC??2?2RsinA?2RsinC， 即
cosBsinBcosC??2sinA?sinC， 2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC·sinB，
故2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)， 因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)， 故cosB＝－
12， 所以B＝120°.
(2)由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－2ac×cos120°， 即a2＋c2＋ac＝13 又a＋c＝4， 解得??a?1?a??c?3，或?3.
?c?1所以S1333△ABC＝
12acsinB＝2×1×3×2＝4.
6
数列
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 二、填空题
6．3·2n－
3 7．180 8．a??1,?1)n＝?(n?2n?4,(n?2) 9．67 10．a1n＝n(n∈N*)
提示：
10．由(n＋1)a22n?1－nan＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0， 因为an＞0，所以(n＋1)aan?1?nn＋1－nan＝0，即a， nn?1所以aaaa12n?11n?a21?a32???ann?1?2?3???n?n.
三、解答题 11．S13＝156.
12．(1)∵点(an，an＋1＋1)在函数f(x)＝2x＋1的图象上，
∴an＋1＋1＝2an＋1，即an＋1＝2an.
∵a1＝1，∴an≠0，∴
an?1a＝2， n∴{an}是公比q＝2的等比数列，
∴a＝2n－
n1.
(2)S1?(1?2n)n＝
1?2?2n?1. (3)∵cn＝Sn＝2n－1，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22
＋…＋2n
)－n＝
2?(1?2n)1?2?n＝2n＋1－n－2. 13．当n＝1时，由题意得S1＝3a1＋2，所以a1＝－1；
当n≥2时，因为Sn＝3an＋2， 所以Sn－1＝3an－1＋2；
两式相减得an＝3an－3an－1， 即2an＝3an－1.
由a1＝－1≠0，得an≠0.
所以aan3n?1?2(n≥2，n∈N*). 由等比数列定义知数列{a3n}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列. 所以an＝－(
3n－12)． 14．(1)设第n年所需费用为an(单位万元)，则
a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24． (2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则
y＝50n－[12n＋
n(n?1)2×4]－98＝－2n2＋40n－98．
7
由题意得y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－51＜n＜10＋51. ∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利. (3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102， ∴当n＝10时，y最大＝102．
即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元). 15．(1)由a1n＝f(－
1a)，得
n?1a2?12?4(an＋1＞0)， n?1an∴{
1a2}为等差数列，∴12＝1＋(n－1)·nana24． 1∵a11＝1，∴an＝
4n?3(n∈N*).
(2)由b22?a2n?an?1?an?2??2n?1?114n?1?4n?5???18n?1， 得bn－bn＋1＝
14n?1?18n?5?18n?9?(18n?2?18n?5)?(18n?2?18n?9)?3(8n?2)(8n?5)?7(8n?2)(8n?9)
∵n∈N*，∴bn－bn＋1＞0，
∴bn＞bn＋1(n∈N*)，∴{bn}是递减数列. ∴bn的最大值为b221?a2?a3?1445. 若存在最小正整数m，使对任意n∈N*有bmn＜25成立， 只要使b141＝
45?m25即可，∴m＞709.
∴对任意n∈N*使bmn＜25成立的最小正整数m＝8．
16．(1)解：设不动点的坐标为P0(x0，y0)，
??x??x?00?1由题意，得?1??y?1y，解得x0??0202，y0＝0， 所以此映射f下不动点为P10(
2，0). ?xn?1??xn?(2)证明：由P，得?1n＋1＝f(Pn)???y1， n?1?2yn所以x1n＋1－
2＝－(x11n－2)，yn＋1＝2yn. 因为x1＝2，y1＝2， 所以x1n－
2≠0，yn≠0，
8
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