高中数学复习专题讲座第22讲关于求圆锥曲线方程的方法

题目 高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

C' 典型题例示范讲解 18 m C 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部

20 m 分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A' 14 m A A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端

点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出22 m B B' 该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程

y解 如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′

C'的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴

Cx2y21设双曲线方程为2?2=1(a＞0,b＞0),则a=AA′=7

2ab又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有

A'oAx112y192y2?2?1,2?2?1 72b7b22B'B由题意，知y2－y1=20,由以上三式得 y1=－12,y2=8,b=72

x2y2故双曲线方程为=1 ?4998例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上

yA21的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过22线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线o1l对称，试求直线l与椭圆C的方程

命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强

知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题

错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键

技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理

且离心率为

1y=x2xBa2?b21c2?,从而a2=2b2,c=b 解法一 由e=?,得22a2a设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－

y22)=0,

y1?y2x?x2??1.

x1?x22(y1?y2)x011,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,2y022设AB中点为(x0,y0),则kAB=－

于是－

x0=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1 2y0右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

?y??1??x??1?x??b 则? 解得?????y?1?b?y??x?b?1?2?2由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=

929,a? 1688x2162∴所求椭圆C的方程为?y =1,l的方程为y=－x+1

99c2a2?b21解法二 由e=?,得?,从而a2=2b2,c=b 2a22a设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),

将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则

4k22kx1+x2=,y+y=k(x－1)+k(x－1)=k(x+x)－2k=－ 121212221?2k1?2kx1?x2y1?y2?k12k21??直线l y=x过AB的中点(),则,,2221?2k221?2k2解得k=0，或k=－1

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一

27，P为线段4P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线

例3如图，已知△P1OP2的面积为且过点P的离心率为

P113P的双曲线方程 2o命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方

P2程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力

知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程

错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出

△P1OP2的面积是学生感到困难的

y技巧与方法 利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值

解 以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系 PP1x2y2设双曲线方程为2?2=1(a＞0,b＞0)

aboxP2由e2=

c2b2132b3，得?1?()?()?

a2a2a2∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=设点P1(x1,

33x和y=－x 2233x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分P1P2所成的比λ22P1Px1?2x2x1?2x2x24y2==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线2?2=1,PP232a9a(x1?2x2)2(x1?2x2)2?上，所以=1, 229a9a即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①

921392132x1?x1,|OP|?x2?x2?x2424232?2tanP1Ox2?12sinP1OP2?? 1?tan2P1Ox1?913411131227?S?P1OP2?|OP1|?|OP2|?sinP1OP2??x1x2??,224134又|OP1|?x1?29 ② 2由①、②得a2=4,b2=9

即x1x2=

x2y2故双曲线方程为=1 ?49x2y2?例4 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，4b2|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________

解析 设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,

又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2