概率论与数理统计习题及答案第二章

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FY(y)?P{Y≤y}?P{X2≤y}?P{?y≤X≤y}?FX(y)?FX(?y).

于是随机变量Y?X2的概率密度函数为

12y?fX(?y)12y?14yfY(y)?fX(y),0?y?4.

即

?1,0?y?4,?4yf(y)?? ?0,其它.?总习题二

1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样

品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.

解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知X(1) 恰好有3件次品的概率是P{X=3}=C50.2(2) 至多有3件次品的概率是

33~B(5,0.2).

0.82.

?Ck?03k50.2k0.85?k.

2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻

(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？

解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X~B(5,0.1),

P{X=k}=C50.1(1) (2)

所求的概率是P{X=2}=C50.122kk0.95?k,k=0,1,…,5.

; ;

50.93?0.0729所求的概率是P{X≥1}=1?(1?0.1)?0.40951(3) 所求的概率是 P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954;

(4) 所求的概率是P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.00856. 3. 设随机变量X的概率密度为

?k??x?e,f(x)????0，?且已知P{Xx≥0,x?0,

?1}?12, 求常数k, θ.

.

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解 由概率密度的性质可知

?1??0k?e?dx?1得到k=1.

?x由已知条件

2ln224. 某产品的某一质量指标X~N(160,?), 若要求P{120≤X≤200}≥0.8, 问允

1???1?edx???x, 得??1.

许?最大是多少?

解 由P{120≤X≤200}120?160X?160200?160?P{≤≤}

??? =?(得到?(40?)?(1??(40?))?2?(40?)?1≥0.8,

40?)≥0.9, 查表得

40?≥1.29, 由此可得允许?最大值为31.20.

5. 设随机变量X的概率密度为

φ(x) = Ae-|x|, -∞

试求: (1) 常数A; (2) P{0

解 (1) 由于到A=

??????(x)dx??????Aedx?1,即2A?e?xdx?1故2A = 1, 得

0?|x|??12.

所以 φ(x) =

12e-|x|.

?x(2) P{0

1?|x|???2edx, 得到 1xx1x当x<0时, F(x)??edx?e,

2??210x1x?x1?x当x≥0时, F(x)??edx??edx?1?e,

2??202?1xe,x?0,??2所以X的分布函数为 F(x)??

?1?1e?x,x≥0.??2.