高中物理--万有引力与天体运动--最全讲义及习题及答案详解

设地球表面的重力加速度g=9.8ms2，则Gm?=R2g

23R+h=以上两式联立解得：

RTg3=24π=4.2×107m2?6.4×10?×?24×3600?×9.8m6224×3.142

同步卫星距离地面的高度为

h=?4.2×107－6.4×106?m=3.56×107m

注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别

在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。

地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。

赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24小

4π2R?0.034ms2；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度， 时，其向心加速度a=2TMm4π2=m2R 它的周期可以由下式求出：GR2TR3求得T=2πGM心加速度a?=，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T约为84min，此值远小于地球自转周期，而向

GM2=9.8ms远大于自转时向心加速度。 2R－11

【例4】 已知引力常量G＝6.67×10位有效数字）

N·m2/kg2,重力加速度g＝9.8m/s2,地球半径R＝6.4×104m，可求得地球的质量为多少？（结果保留一

解析：在地球表面质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有

2R29.8?（6.4?106）Mm24?kg?6?10kg G2＝mg ,得M?g－11G6.67?10R【例5】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度 C．飞船的运行周期 D．行星的质量

解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：GMm2?2＝m()R，

TR2?3?GT2；

由上式可知：

M4??R33?4?24??GT23，即行星的密度?上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确。

9

【例6】已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度g=9.8m其高度和速度应为多大？

s2，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，

[思路分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。

GMm=mg ① 2RGMm?R+h?2?2π?=m?R+h????T?2 ②

由①②两式得

22RTg3h=3-R?4π2?3.56?107mm1m23226400?10?L???24?3600?2?9.84?3.142m?6400?103m

又因为

GMm?R+h?2v2 ③ =m?R+h?2由①③两式得

v=Rg?ms?3.1?103ms 37R+h6400?10?3.56?102?6400?103??9.8[答案]：h?3.56?107mv?3.1?10ms

23MmMm?2π?=mgG=mR+h[总结]：此题利用在地面上G和在轨道上????2R2?T??R+h?【例7】下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定

两式联立解题。

B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小

C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低 D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD

5.双星问题

【例8】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量? 答案 4π2r3/GT2

【例9】两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L，求这两颗恒星的转动周期．

解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以

4?22 G＝m1TR1 ①

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m1m22GL4?22T＝m2

R2

③

②

R1+R2＝L 由①②③得：

R1m2?R2m1m2m?m2，得：R1＝1L

代入①式

4?2L2R14?2L2m2L??Gm2Gm2(m1?m2)

T2＝

所以：T＝2π?

L3G(m1?m2) 答案：2π?

L3G(m1?m2)

第四节 万有引力与天体运动

创新训练

1.同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R，则（ AD ）

A. a1/a2=r/R B. a1/a2=R2/r2 C. v1/v2=R2/r2 D. v1/v2

?R/r

2.若航天飞机在一段时间内保持绕地球地心做匀速圆周运动则（ C ） A.它的速度大小不变

B.它不断地克服地球对它的万有引力做功 C.它的动能不变，重力势能也不变 D.它的速度大小不变，加速度等于零

3．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下

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判断错误的是（ B ）

A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比 B．两颗卫星的线速度一定相等 C．天体A、B的质量可能相等 D．天体A、B的密度一定相等

4．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。 B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加m1m25．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是 ( C )

r2A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的

6．一宇航员在某星球上以速度v0竖直上抛一物体，经t秒落回原处，已知该星球半径为R那么该星球的第一宇宙速度是( B )

A.v0t R

B.

2v0R

t

C.

v0R t

D.

v0 Rt

加速度。

P

?2 1 3 同步轨道3。轨道1、2相切于下说法正确的是：( BD )

Q ?速度。

解析 设该星球表面重力加速度为g，由竖直上抛知识知，t＝7.如图7所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若

2v02v0，所以g＝；由牛顿1． gt

飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于 在轨道1上，飞船在轨道2上的

A．动能大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小

mv24π2mrGMmGM

解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，即F引＝F向，所以2＝ma向＝＝2＝mrω2，即a向＝2，rrTr1GMm

Ek＝mv2＝，T＝

22r正确．

8．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是

( B )

4π2r3，ω＝ GM

GM2π

求解)．因为r1Ek2，a3(或用公式T＝rω

向1

( CD )

图7

>a

向2

，T1ω2，选项C、D

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

a3

解析 根据开普勒第三定律，2＝恒量知，当圆轨道的半径R与椭圆轨道的半长轴a相等时，两卫星的周期相等，故选项A错误；卫

T星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理知，动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时Mm2π

动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B正确；所有同步卫星的运行周期相等，根据G2＝m()2r知，同步卫星轨道的

rT半径r一定，故选项C错误；根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点时，轨道平面必过地心，但轨道平面不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道平面可以不重合，选项D错误．

9．2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高

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