2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（2）
?1?4．函数f?x??，x??0,???的值域为D，在区间??1,2?上随机取一个数x，则x?Dx 文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，若复数z?i1?i，则z的共轭复数为（ ） A．112?12i B．1?i C．1?122i D．12?12i 【答案】D 【解析】复数z?ii?1?i?12，根据共轭复数的概念得到，z的共轭复数为：112?2i．故答案为：D．
2．设z?i?1i?1，f?x??x2?x?1，则f?z??（ ）
A．i B．?i C．?1?i
D．?1?i
【答案】A
【解析】Qf?x??x2?x?1，z?i?1i?1??i?1???1?i??i?1???1?i???2i2??i，?f?z??f??i????i?2???i??1?i，故选A．
3．已知函数f?x??lnx，若f?x?1??1，则实数x的取值范围是（ ） A．???,e?1? B．?0,??? C．?1,e?1?
D．?e?1,???
【答案】C
【解析】已知函数f?x??lnx，若f?x?1??1，则f?x?1??lne?f?e?，由函数为增函数，故：0?x?1?e?1?x?1?e，故选C．
第 1 页，??2??的概率是（ ）
A．
12 B．
13 C．
14 D．1
【答案】B
x【解析】Qx?0，?0???1??即值域??1，?2D??0,1?，若在区间??1,2?上随机取一个数x，x?D开始的事件记为A，则P?A??1?02???1??13，故选B． 输入t5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t?100，则输出的n?（ ） S?0,a?2,n?0S?S?aA．5 B．6
C．7
D．8
a?3a?1,n?n?1【答案】A
是k≤t【解析】S?2+5+14+41+122?100，故输出n?5． 否输出n 结束
6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就
是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为V?112?（底面圆的周长的平方?高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.2
【答案】A
【解析】设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得体积为：V?πr2h．
由题意知V?112??2πr?2?h．所以πr2h?1212??2πr??h，解得π?3．故选A． 7．已知向量a??3,?4?，b?2，若a?b??5，则向量a与b的夹角为（ ）
A．π6 B．π4 C．π3 D．2π3 【答案】D
共 6 页
【解析】由题可知：cos??a?ba?b??510??12，所以向量a与b的夹角为2π3．
8．已知点P在圆C：x2?y2?4x?2y?4?0上运动，则点P到直线l：x?2y?5?0的距离的最小值是（ ）
A．4 B．5
C．5?1
D．5?1
【答案】D
【解析】圆C：x2?y2?4x?2y?4?0化为?x?2?2??y?1?2?1，圆心C?2,1?半径为1，
先求圆心到直线的距离2?2?5：12?22?5，则圆上一点P到直线lx?2y?5?0的距离的最小值是
5?1．选D．
?3x?y?6?09．设x，y满足约束条件??x?y?2?0?，若目标函数z?ax?y?a?0?的最大值为18，
?x?0,y?0则a的值为（ ）
A．3 B．5
C．7
D．9
【答案】A
【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为y??ax?z，当直线过点?4,6?时，有最大值，将点代入得到z?4a?6?18?a?3，故答案为：A．
x210．双曲线y2a2?b2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60?的
直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．2?3
C．2
D．2?1
【答案】B
【解析】双曲线x2y2a2?b2?1(a?0,b?0)的左焦点F为??c,0?，直线l的方程为
y?3?x?c?，令x?0，则y?3c，即A?0,3c?，因为A平分线段F1B，根据中点坐标公式
第 2 页，可得B?c,23c?，代入双曲线方程可得c212c2c12e22a2?b2?1，由于e?a?e?1?，则e?e2?1?1，化简可得e4?14e2?1?0，解得e2?7?43，由e?1，解得e?2?3，故选B．
11．已知函数f?x??ex?x2??3a?2?x在区间??1,0?有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．???1,?1?? B．???1,?e???1??e??3? C．???3,?1???e? D．???1,?3e?? 【答案】D
【解析】由f?x??ex?x2??3a?2?x可得，f??x??ex?2x?3a?2，
Q函数f?x??ex?x2??3a?2?x在区间??1,0?上有最小值，
?函数f?x??ex?x2??3a?2?x在区间??1,0?上有极小值，
而f??x??ex?2x?3a?2?0在区间??1,0?上单调递增，
?f??x??ex?2x?3a?2?0在区间??1,0?上必有唯一解，
由零点存在定理可得???f???1??e?1?2?3a?2?01?，解得?1?a??f??0??1?3a?2?0?3e，
?实数a的取值范围是??1??1,??3e??，故选D．
12．若关于x的不等式kex?1x?x?1在???，0?U?0，???上恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．???，?e?U??5??e2，???? B．???，?2e?U??3?e2，????? C．????，?1??U??5?e??e2，????? D．????，?2??3?e??U??e2，????? 【答案】A
?x?0?x?0【解析】依题意，kex?1x?x?1?kex?1x?x?1????x2?x?1或???k?ex?x2?x?1，令?k?exf?x??x2?x?1?2x?1?ex?ex?x2?x?1??x2?x?2?x?1ex，则f??x????x?2?e2x?ex??ex， 共 6 页
所以当x????,?1?时，f??x??0，当x???1,0?时，f??x??0， 当x??0,2?时，f??x??0，当x??2,???时，f??x??0， 所以k?f?2?或k?f??1?，即k?5e2或k??e，故选A． 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知x，y?R，则“a?1”是直线ax?y?1?0与直线x?ay?1?0平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充要
【解析】若直线ax?y?1?0与直线x?ay?1?0平行，则有a2?1，即a??1，且当a??1时，两直线重合，舍去，因此a?1，即a?1是直线ax?y?1?0与直线x?ay?1?0平行的充要条件，故答案为充分必要．
14．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积是________cm2．
【答案】27
【解析】由三视图得到几何体如图： 侧面积为
12?3?4?12?3?4?12?3?5?12?5?3?27；故答案为：27． 15．函数y?x2?x?1πxx与y?3sin2?1的图象有n个交点，其坐标依次为?x1,y1?，?nx2,y2?，…，?xn,yn?，则??xi?yi??__________．
i?1
第 3 页，【答案】4
【解析】因为y?x2?x?1x?x?1x?1，y?3sinπx2?1两个函数对称中心均为?0,1?；画出y?x2?x?1x?x?1x?1，y?3sinπx2?1的图象，由图可知共有四个交点，且关于?0,1?对称，4x1?x4?x2?x3?0，y1?y4?y2?y3?2，故??xi?yi??4，故答案为4．
i?1
16．已知定义在R上的函数f?x?是奇函数，且满足f?3?x??f?x?，f??1??3，数列
?an?满足a1?1且an?n?an?1?an??n?N*?，则f?a36??f?a37??_______．
【答案】?3
【解析】因为函数f?x?是奇函数，所以f??x???f?x?，又因为f?3?x??f?x?， 所以f?3?x???f??x?，所以f?3?x???f?x?，即f?x?6??f?x?， 所以f?x?是以6为周期的周期函数；由a?1n?n?an?1?an?可得
an?1na?， nn则aanan?1an?2ann?a???????2?a?n?1?n?3?????21??1?n，即an?n， n?1an?2an?3a1n?1n?2n?41所以a36?36，a37?37，又因为f??1??3，f?0??0，
所以f?a36??f?a37??f?0??f?1??f?1???f??1???3．故答案为：?3．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且bcosA?ccosB??c?a?cosB．（1）求角B的值；
（2）若△ABC的面积为33，b?13，求a?c的值．
共 6 页
【答案】（1）B??3；（2）7． 【解析】（1）∵bcosA?ccosB??c?a?cosB．
∴由正弦定理，得sinBcosA?sinCcosB??sinC?sinA?cosB．···········1分 ∴sinAcosB?cosAsinB?2sinCcosB． ?sin?A?B??2sinCcosB．·
··········3分 又A?B?C??，∴sin?A?B??sinC．···········4分 又∵0?C??，?cosB?12．··········5分 又B??0，??，?B??3．··········6分 （2）据（1）求解知B??3，∴b2?a2?c2?2accosB?a2?c2?ac．①··········8分 又S?12acsinB?33，·········9分
∴ac?12，②··········10分
又Qb?13，∴据①②解，得a?c?7．··········12分
18．某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下统计表：
第一第二第三第四第五 次 次 次 次 次 参会人数x（万人） 13 9 8 10 12 原材料y（袋） 32 23 18 24 28 （1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y?bx??a?． （2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为C???400t?20,0?t?36,t?N?380t,t?36,t?N，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L?销售收入?原材料费用）．
第 4 页，nn参考公式：b???i?1?xi?x??yi?y??i?1xiyi?nxy?n2?n2nx2，a??y?bx?． i?1?xi?x??i?1xi?555参考数据：
?xiyi?1343，i?1?x2?558，i?1?y2ii?3237．
i?1【答案】（1）y?2.5x?1；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元．
【解析】（1）由所给数据可得：x?13?9?8?10?125?10.4，
y?32?23?18?24?285?25，·······2分
5b???i?1xiyi?5xy1343?5?10.4?25?52i?1xi?5558?5?10.42?2.5，a??y?bx?·5分 x2??25?2.5?10.4??1，·则y关于x的线性回归方程为y?2.5x?1．·······6分
（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当x?15时，y?36.5，即预计需要原材料36.5袋，因为C???400t?20,0?t?36,t?N?380t,t?36,t?N，
当t?35时，利润L?700?35??400?35?20??10520； 当t?36时，利润L?700?36?380?36?11520， 当t?37时，利润L?700?36.5?380?37?11490．
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元．
·······12分19．在三棱锥P?ABC，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB?2，O、
D分别是AB、PB的中点．
（1）求证：OD//平面PAC；
（2）连接PO，求证：PO?平面ABC； （3）求三棱锥A?PBC的体积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13．
【解析】（1）∵O、D分别为AB、PB的中点．∴OD//PA．···········2分 又PA?平面PAC．OD?平面PAC．∴OD//平面PAC．···········4分
共 6 页
（2）连接OC．∵AC?CB?2，AB?2．∴?ACB?90?，
又O为AB的中点，∴OC?AB，OC?1，同理，PO?AB，···········6分
PO?1，又PC?2，而PC2?OC2?PO2?2，∴PO?OC．·······7分 AB?平面ABC，OC?平面ABC，又ABIOC?O，
∴PO?平面ABC．···········8分 （3）由（2）可知PO?平面ABC．
∴PO为三棱锥P?ABC的高，PO?1．···········9分 三棱锥A?PBC的体积为：
V11?1?1A?PBC?VP?ABC?3SABC·PO?3???2?2?1???1?3．···········12分
20．已知椭圆Cx21的方程为4?y23?1，椭圆C32的短轴为C1的长轴且离心率为2． （1）求椭圆C2的方程；
（2）M、N分别为直线l与椭圆C1、C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y?kx(k?0)，求k的值．
【答案】（1）
x2y24?16?1；（2）k?3． 【解析】（1）椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4， ∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4．·········1分
?22设椭圆C的方程为yx?2b?4?22a2?b2?1(a?b?0)，则有??b?3?，·········2分 ??a?1???2??1?2∴a?4，b?2，∴椭圆Cx2y22的方程为4?16?1．·········5分
第 5 页，（2）设M?x1,y1?，N?x2,y2?，
由△PON面积为△POM面积的2倍得ON?2OM， ∴x2?2x1．·········6分
?联立方程?y?kx? ，消y得x?12?x2y2?，·········?4?3?14k2?38分 ∴x1?12164k2?3．同样可求得x2?4?k2．·········10分
∴164?k2?2124k2?3，解得k??3，·········11分
∵k?0，∴k?3．·········12分
21．已知函数f?x??lnx?ax2??2?a?x?a?R?． （1）讨论函数f?x?的单调性； （2）设g?x??xex?2，对任意的x0??0,2?，关于x的方程f?x??g?x0?在?0,e?有两个不同的实数根，求实数a的取值范围（其中e=2.71828...为自然对数的底数）．
【答案】（1）答案见解析；（2）?e?a??3?2ee2?e． 【解析】（1）f??x??1x?2ax??2?a???2x?1??ax?1?x?x?0?，·······1分 当a?0时，f??x??0在?0,???上恒成立，f?x?在?0,???单调递增；·····3分 当a?0时，令f??x??0，解得0?x??1a，令f??x??0，解得x??1a， 此时f?x?在??1??0,?a??递增，在??1???a,????递减．·······5分 （2）g?x??xex?2，所以g??x??1?xex， 当x????,1?时，g??x??0，g?x?单调递增， 当x??1,???时，g??x??0，g?x?单调递减， ∴x??0,2?时，g?x?的值域为???2,1?2???e?，·······7分 共 6 页
当f?x??g?x0?，x??0,e?有两个不同的实数根，则a?0，
???f?e???2且满足??0??1a?e，·······9分
?????f???1?1a???e?2由f?e??1?ae2?2e?ea??2，∴a??3?2ee2?e①， 又0??1a?e，解得a??1e．② 由f????1?a???ln????1?a???1a?2a?1?1e?2，ln????1?11a???a?e?1，
令h?x??lnx?x，知h?x?单调递增，
而h??1??e???1e?1，于是?11a?e时，解得?e?a?0，③
综上，?e?a??3?2ee2?e．·······12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．直角坐标系xOy中，曲线Ccos?1的参数方程为??x?1??y?sin? （?为参数），曲线
Cx22:3?y2?1．
（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （2）射线??π3??≥0?与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求AB． 【答案】（1）曲线C，曲线C2?21的极坐标方程为??2cos?2的极坐标方程为?1?2sin???3；
2）AB????3012?5?1． 【解析】（1）曲线Cx?1?cos?1：???sin? （?为参数）化为普通方程为x2?y2?2x，
?y
第 6 页，所以曲线C1的极坐标方程为??2cos?，···········3分 曲线C22的极坐标方程为??1?2sin2???3．·
··········5分 （2）射线??π3??≥0?与曲线Cπ1的交点的极径为?1?2cos3?1，·
··········7分 射线??π3??≥0?与曲线C2的交点的极径满足?2?2π?2??1?2sin3???3， 解得?302?5，···········9分 所以AB??301??2?5?1．·
··········10分 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?x?1．
（1）若f?x??m?1恒成立，求实数m的最大值；
（2）记（1）中m的最大值为M，正实数a，b满足a2?b2?M，证明：a?b?2ab． 【答案】（1）2；（2）见解析．
??2x?1x≤0【解析】由f?x????10?x?1，·········2分
??2x?1x≥1得f?x?min?1，要使f?x?≥m?1恒成立，
只要1≥m?1，即0≤m≤2，实数m的最大值为2；·········5分 （2）由（1）知a2?b2?2，又a2?b2≥2ab，故ab≤1，
?a?b?2?4a2b2?a2?b2?2ab?4a2b2?2?2ab?4a2b2??2?ab?1??2ab?1?，
∵0?ab≤1，∴?a?b?2?4a2b2??2?ab?1??2ab?1?≥0，∴a?b≥2ab．·
········10分
共 6 页
（
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