几个常用函数的导数（教案）

3.2.1几个常用函数导数

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

教学过程：

【合作探究】

探究任务一：函数y?f(x)?c的导数.

问题：如何求函数y?f(x)?c的导数？

新知：y??0表示函数y?c图象上每一点处的切线斜率为 .

若y?c表示路程关于时间的函数，则y?? ，可以解释为 即一直处于静止状态.

试试：求函数y?f(x)?x的导数

反思：y??1表示函数y?x图象上每一点处的切线斜率为 .

若y?x表示路程关于时间的函数，则y?? ，可以解释为

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y?2x,y?3x,y?4x的图象，并根据导数

定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数y?kx(k?0)增（减）的快慢与什么有关？

【典型例题】

1．函数y?f(x)?c的导数 根据导数定义，因为

?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0函数 导数 y?c y??0 y??0表示函数y?c图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y?c表示路程关于时间的函

数，则y??0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数y?f(x)?x的导数 因为

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 ?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0函数 导数 y?x y??1 1

y??1表示函数y?x图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y?x表示路程关于时间的函

数，则y??1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数y?f(x)?x2的导数

?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因为 ?x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x

?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x

?x?0?x?x?0函数 导数 y?x2 y??2x y??2x表示函数y?x2图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切

线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x?0时，随着x的增加，函数y?x2减少得越来越慢；当x?0时，随着x的增加，函数y?x2增加得越来越快．若y?x2表示路程关于时间的函数，则y??2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数y?f(x)?1的导数 x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因为 ???x?x?x?x?(x??x)1??2

x(x??x)?xx?x??x所以y??lim?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx函数 导数 y?5．函数y?1 xy???1x2[来源学科网] x的导数

2

6．推广：若y?f(x)?xn(n?Q*)，则f?(x)?nxn?1

【反思总结】

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .

2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.

【当堂检测】

1.f(x)?0的导数是（ ）

A．0 B．1 C．不存在 D．不确定 2.已知f(x)?x2,则f?(3)?（ ）

A．0 B．2x C．6 D．9

?3. 在曲线y?x2上的切线的倾斜角为的点为（ ）

41111A．(0,0) B．(2,4) C．(,) D．(,)

4162414. 过曲线y?上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为s?t3，则物体在t?1时的速度为 ，在t?4时的速度为 . 【板书设计】

21．函数y?f(x)?c的导数 3．函数y?f(x)?x的导数 5．函数y?x的导数

2．函数y?f(x)?x的导数 4．函数y?f(x)?1的导数 6．推广： x

【课后作业】P82 探讨

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