（二次函数、不等式、方程）
1. 解关于x的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2) 2x2?mx?2?0．
2 A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且A?B，试求k的取值范围． 3．不等式(m－2m－3)x－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围． 4．已知y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－
2
2
11＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0． 235．若不等式1x2?qx?p?0的解集为?x|2?x?4?，求实数p与q的值．
p6. 设f?x??ax2?bx?c?a?0?，若f?0??1，f?1??1，f?－1??1, 试证明：对于任意?1?x?1，有f?x??5. 47.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数f?x??ax2?bx?c?a?0?，方程f?x??x?0的两个根x1,x2满足0?x1?x2?1. 当x?a?0,x1?时，证明x?f?x??x.
18. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
9.二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx， a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
ty10.已知实数t满足关系式loga3?loga3 (a>0且a≠1)
aa(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x∈(0,2]时，y有最小值8，求a和x的值. 11.二次函数y=mx2+(m－3)x+1与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求m的取值范围. 12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足
(1)pf(
pqr??=0,其中m>0,求证： m?2m?1mm)<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解. m?113.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；
215. 设二次函数f?x??ax?bx?c?a?0?，方程f?x??x?0的两个根x1,x2满足
0?x1?x2?x11. 且函数f?x?的图像关于直线x?x0对称，证明：x0?. a216. 已知二次函数f(x)?ax2?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程f(x)?x的两个实数根为x1和x2.
（1）如果x1?2?x2?4，设函数f(x)的对称轴为x?x0，求证：x0??1； （2）如果x1?2，x2?x1?2，求b的取值范围. 17. 设f(x)?3ax2?2bx?c.若a?b?c?0,f(0)?0，
(Ⅰ) a＞0且－2＜
f(1)?0,求证：
a＜－1；(Ⅱ)方程f(x)?0在（0，1）内有两个实根. b18. 已知二次函数 试判断
及
的图象如图所示：
的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明
（1）。
19. 为何值时，关于 的方程 的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。
20. 证明关于 的不等式 与 ，当
为任意实数时，至少有一个桓成立。 21. 已知关于
的方程 的极值。
两根为
，试求
x2?8x?20?0对一切x恒成立，求实数m的范围. 22. 若不等式
mx2?mx?123.不等式ax+bx+c>0的解集{x|a 2 2 1.解：(1)原不等式可化为：(x?a)(x?1)?0,若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时， 解为a＜x＜1，若a=1时，解为? (2)△=m2?16． ①当m2?16?0即m??4或m?4时，△＞0． ?m?m2?16?m?m2?16方程2x?mx?2?0有二实数根：x1?,x2?. 44222??m?m?16?m?m?16??? ∴原不等式的解集为?x|x?或x??.44????①当m=±4 时，△=0，两根为x1?x2??m. 4若m?4,则其根为－1，∴原不等式的解集为?x|x?R,且x??1?． 若m??4,则其根为1，∴原不等式的解集为?x|x?R,且x?1?． ②当－4＜m?4时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R． 2．解：A?{x|[x?(3k?1)][x?(k?1)]?0}，比较3k?1,k?1的大小, 因为(3k?1)?(k?1)?2(k?1), (1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x?k?1}. (2)当k=1时，x?R. (3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=x|x?k?1或x?3k?1. B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式??4k?4(k?k)??4k， (1)当k=0时，??0,x?R. (2)当k＞0时，△＜0，x?R. (3)当k＜0时，??0,x?k??k或x?k??k. 故：当k?0时，由B=R，显然有A?B， 22????3k?1?k??k?k??1，于是k??1时，A?B. 当k＜0时，为使A?B，需要???k?1?k??k综上所述，k的取值范围是：k?0或?1?k?0. 3..解： (１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时， ①若m＝3，原不等式解集为R ②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0 ∴原不等式解集为｛x｜x＜ 1＝，不合题设条件. 4(２)若m2－2m－3≠0，依题意有 ??1?m?32??m?2m?3?0? 即 ?1?22??m?3?????(m?3)?4(m?2m?3)?0?51122 ＜m＜3综上，当－＜m≤3时， (m－2m－3)x－(m－3)x－1＜0的解集为R. 55114..解： 由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根， 321111∴－p=－＋ q=－× 232311∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0 6611即－x2＋x＋1＞0 66∴－ ∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3. 2 即不等式qx＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝. 15.．解：由不等式x2?qx?p?0的解集为?x|2?x?4?，得 p2和4是方程 112x?qx?p?0的两个实数根，且?0．(如图) ppy?1?P?0 ? ?2?4??pq?p?0.?o?2?4?p2?? 24x 解得P??22,q?32. 26. 解：∵ f??1??a?b?c,f?1??a?b?c,f?0??c, ∴ a?11(f?1??f??1??2f?0?),b?(f(1)?f(?1)),c?f?0?, 22?x2?x??x2?x?2???∴ f?x??f?1??.∴ 当?1?x?0时， ?????f?1?f01?x?2??2???????
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