时间序列平滑预测

实验3：时间序列平滑预测

3.1实验目的

1、了解移动平均法和指数平滑法的基本概念，基本原理；

2、掌握一次移动平均法，二次移动平均法，单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测模型形式，适用条件及内在机理；

3、掌握利用Excel软件实现一次移动平均法，二次移动平均法操作步骤； 4、掌握利用Eviews软件实现单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测的操作流程。

3.2实验原理

3.2.1移动平均法

移动平均法是根据一段时间序列的样本资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均数，来预测序列趋势的一种平滑方法。它是最简单的自适应预测模型，主要包括一次移动平均和二次移动平均两种方法。

（一）一次移动平均法

一次移动平均法又称简单移动平均法，它是根据序列特征，计算一定项数的算术平均数作为序列下一期的预测值，这种方法随着时间的推移逐渐纳入新的数据同时去掉历史数据。

（1）计算公式：设时间序列为：x1,x2,?,xt一次移动平均的计算公式为：

1St?(xt?xt?1???xt?n?1)

n式中：St为第t期移动平均数；n为移动平均的项数。公式表明时间t每向前移动一个时期，一次移动平均便增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。这种边移动变平均的方法被称为一次移动平均法。

通过推到我们可以得到一次移动平均法递推公式：

1 St?St?1?(xt?xt?n)

n公式说明每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正。

?t?1?St 即以第t期移动平均数作为第t+1期（2）预测公式为： Ft?1?x的预测值。

（3）特点：该预测方法简单易行，当序列的实际值波动较大时，我们通常会通过移动平均法减弱随机波动性，消除随机干扰，以帮助进行序列实际趋势的分析；

移动平均的项数n的选择至关重要， n越大，修匀的程度也越大，移动平

均后的序列波动程度越小。反之，如果n越小，对原序列的改变就越小。实际中 n到底取多大，应该根据时间序列具体情况作出选择择。较有效的方法是取尽量

n1多的n值进行试算，然后比较预测的均方误差MSE?(xt?Ft)2，计算?n?k?1t?k最小的均方误差的具体移动平均项数n便是最优的。

（3）应用条件：一次移动平均法主要应用于平稳时间序列的预测，对于具有明显递增、递减趋势的时间序列一次移动平均预测法会有滞后偏差。

（二）二次移动平均法

1、二次移动平均法：当时间序列具有明显递增，递减变动趋势时，用一次移动平均法预测就会出现滞后偏差。需要进行修正，修正方法在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均，然后建立线性趋势预测模型来修正滞后偏差。

2、计算公式：

一次移动平均数为： St(1)?1(xt?xt?1???xt?n?1) n1(1)二次移动平均：St(2)?(St(1)?St(1)?1???St?n?1)

n1(1)(2)(2)(1)其递推公式为 St?St?1?(St?St?n)

n（三）预测模型

二次移动平均的预测模型是利用滞后偏差建立直线趋势预测模型，模型形式

?t?T?at?bt?T 如下：Ft?T?x其中系数at 、bt的表达式为：at?2St?St， bt?T是距离最近一期的样本周期长度。

(1)(2)2(St(1)?St(2)) n?1 3.2.2 指数平滑法

移动平均法存在将最近n期数据等权看待的缺点，而对t-N期以前的数据完全忽视，这往往不符合实际。为了改进上述缺点提出了指数平滑法。指数平滑法发展到现在有许许多多方法，这里我们主要讲Eviews5.0能实现的单指数平滑，双指数平滑，Holt-Winters无季节指数模型，Holt-Winters加法指数模型，，Holt-Winters乘法指数模型。

3.2.2．1单指数平滑法

（一）单指数平滑法

如果序列前一期预测值加上前期预测值中产生误差的修正值则为指数平滑法。即：

1、预测模型：Ft?1??xt?(1??)Ft

给定修正系数?，第t+1期预测值是t期预测值与t期观测值的加权平均数。

单指数平滑预测模型是由一次移动平均法得来的：

1(xt?xt?1???xt?n?1) n1 ?(xt?xt?1???xt?n?1?xt?n?xt?n)

n111 ?xt?(xt?1???xt?n?1?xt?n)?xt?n

nnn1?t?Ft?(xt?1???xt?n?1?xt?n) 又因为 xn11所以 St?xt?Ft?xt?n，用Ft近似代替xt?n

nn11整理得Ft?1?xt?(1?)Ft

nn1令??，便得到Ft?1??xt?(1??)Ft

n因为一次移动平均公式为St?所以指数平滑预测模型实质是第t+1期的预测值是第t期的实际值和第t期的预测值的加权平均数。对此模型Ft?1??xt?(1??)Ft可以重新排列，Ft?1?Ft??(xt?Ft)，所以第t+1期的预测值是第t期的预测值加上第t期的实际值与第t期的预测值的修正值。

2、递推公式：Ft?1??xt?(1??)Ft

因为 Ft?1??xt?1?(1??)Ft?1

所以 Ft?1??xt?(1??)(?xt?1?(1??)Ft?1)

整理得：Ft?1??xt??(1??)xt?1?(1??)Ft?1 我们再将Ft?1、Ft?2、Ft?3，?带入上述模型整理得：

2Ft?1??xt??(1??)xt?1??(1??)2xt?2??(1??)3xt?3????(1??)n?1xt?n?1?(1??)nFt?n?1

这里系数?的范围0???1，所以第t+1期的预测值是第t期、t-1期、t-2期、

?、t-n+1期的加权平均数，其权重按几何级数递减，越靠近预测期，权重越大。越远离预

测期，权重越小。

3、初始预测值的选择和加权系数的确定

平滑模型的初始预测值是由预测者估计的。一般给定的原则（1）当时间序列的数据较多，初始预测值值对以后的预测值影响很小，用最初一期数据做为初始值；（2）如果时间序列的数据中等，一般以最初几期的实际值的算数平均数作为初始预测值；（3）如果时间序列的数据长度充分大，初始预测值可以任意给定。

加权系数的确定?直接影响预测结果，所以?的取值是否恰当直接影响预测结

果和精度，?的取值范围为0???1，这区间的数据有许许多多，?值既代表预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又决定预测模型修匀误差的能力。实际中确定?的值方法有许多，这里讲两种常用的方法：

（1） 直接给定法。

这种方法是根据所研究序列特征直接赋予平滑系数?的具体值，当序列变化幅度较小时，我们要选取较小的?，反之，当序列变化幅度较大，变化迅速时，要选取较大的靠近1的?值。

（2） 间接均方误差法。

先将平滑系数离散化，在[0,1]之间按一定的步长取?的值，然后计算

n1每一期的预测值，根据均方误差公式MSE?(xt?Ft)2计算每一次?n?k?1t?k的值，均方误差值最小的那个平滑系数便是最优的。

3.2.2．2双指数平滑法

双指数平滑法的原理与二次移动平均法类似，当时间序列具有明显递增、递减变动时，单指数平滑预测法会存在明显滞后偏差所以此时要进行二次指数平滑，即双指数平滑法。

双指数平滑法的预测模型Ft?T?at?bTt

其中T是预测期距离第t期的时期数，一般情况下t期取样本数据最近的一期，截距at和斜率bt的计算公式如下：

at?2St(1)?St(2)

bt??(St(1)?St(2)) 1??St(1) 是一次指数平滑值，St(2)为二次指数平滑值

St(1)??xt?(1??)St(1)?1

St(2)??St(1)?(1??)St(2)?1

3.2.2．3 Holt-Winters无季节指数模型

这种方法与双指数平滑法一样，主要用于具有线性趋势，但无季节变动的时间序列的预测，预测模型为：Ft?T?at?bTt

模型中at、bt由以下公式决定：at??xt?(1??)(at?1?bt?1)

bt??(at?at?1)?(1??)bt?1

两个系数?、?，其范围都在0~1之间。 3.2.2．4 Holt-Winters加法指数模型，