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例7．已知正数x、y满足xy?x?y?3，试求xy、x?y的范围。
【思路点拨】利用均值不等式化归为其它不等式的求解或者转化为函数最值的求解. 【解析】 解法一： 由x?0,y?0，
则xy?x?y?3?xy?3?x?y?2xy， 即(xy)?2xy?3?0 解得2xy??1(舍)或xy?3，
当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,??). 又x?y?3?xy?(x?y2) 2?(x?y)2?4(x?y)?12?0
解得x?y??2(舍)或x?y?6，
当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故x?y的取值范围是[6,??) 解法二：
由x?0,y?0，xy?x?y?3?(x?1)y?x?3知x?1， 则y?x?3x?3，由y?0??0?x?1，则： x?1x?14x?3x2?3x(x?1)2?5(x?1)?44?5?9， xy?x????(x?1)??5?2(x?1)?x?1x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号， x?1故xy的取值范围是[9,??)。
x?y?x?x?3x?1?4444?x??x??1?(x?1)??2?2(x?1)??2?6， x?1x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号， x?1故xy的取值范围是[9,??)。
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【总结升华】利用均值不等式求函数的最值，除了抓住均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”外，还要灵活变换函数式，配凑均值不等式，并正确应用均值不等式求解函数最值问题.
举一反三：
【变式1】（2016 海南校级模拟）设x,y均为正数，且
A.1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】
x,y均为正数，且
111??，则xy的最小值为（ ） x?1y?12111??， x?1y?12?
x?y?21?，整理可得xy?x?y?3,
(x?1)(y?1)2由基本不等式可得xy?2xy?3, 整理可得解得
?xy?2?2xy?3?0,
xy?3 ，或xy??1（舍去）
? xy?9，当且仅当x?y时取等号，故选：D
【变式2】（1）设a,b,c是RtΔABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围； （2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。 【答案】（1）由已知得c2=a2+b2 ① 4-c=a+b ② a,b?R+且满足2（a2+b2）≥(a+b)2 ③ ∴将①，②代入③得2c2≥(4-c)2
?c2?8c?16?0?c?42?4 ④
∵a+b>c ?a+b+c>2c 又a+b+c=4 ∴c<2 ⑤
于是由④、⑤得42?4?c?2, ∴所求C的取值范围为?42?4,2
??（2）由已知得b2=ac ① 1-b=a+c ② 由题设知a、c同号
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（i）当a,c同为正数时，a?c?2ac(当且仅当a=c时等号成立) ∴由①得a+c≥2|b|
∴再由②得1-b≥2|b|?2|b|+b≤1 ③ ∴若b>0，则由③得0?b?1； 31 3若b<0， 则由③得 -1≤b<0 ∴由③解得-1≤b<0或0?b?(ii)当a,c 同为负数时，(?a)?(?c)?2ac
?a?c??2ac ④
∴由②、④得1-b≤-2|b|?2|b|-b≤-1，无解
于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[-1，0）∪（0，
1] 3y?3x2?例8．求函数
162?x2的最小值.
3x2?【思路点拨】
1612?x2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值. 而2?x2可与x2?2相
y?3x2?6?16?62?x2，再用均值不等式.
约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即
【解析】
x2?2?0，
?y?3x2?16x2?2
16?3x2?6?2?6x?2?3(x2?2)?16?6 x2?216?6 x2?2?23(x2?2)??83?6
当且仅当3(x?2)?243162y的最小值是83?6. x??2，即时,等号成立. 所以3x2?2 【总结升华】为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧；为了保证式子的值不变，
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添项后一定要再减去同一项.
举一反三：
【变式1】求y?2x(3?x)(0＜x＜3)的最大值. 【答案】
0＜x＜3,?3?x＞0且
为常数
?y?2x(3?x)?2?(∴当x?3时，ymax2x?3?x293)?（当且仅当x?3?x,即x?时取等号） 2229?. 2【变式2】已知x?0,y?0，且满足3x?2y?12，求lgx?lgy的最大值. 【答案】
x?0,y?0,lgx?lgy?lg(xy)?lg3x?2y13x?2y2112?lg[()]?lg[()2]?lg6 66262当且仅当3x?2y，即x?2,y?3时等号成立。所以lgx?lgy的最大值为lg6
例9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建
造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)?k(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费3x?5用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【思路点拨】(1)由题意知C(0)＝8，代入f(x)的表达式即可求出k的值，求f(x)的表达式时需注意定义域；(2)利用均值不等式即可求解．
【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k＝40，因此C(x)?k，再由C(0)＝8，得3x?540． 3x?5而建造费用为C1(x)?6x．
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)?20C(x)?C1(x)?20?(2)f(x)?40800?6x??6x(0≤x≤10)． 3x?53x?5800800?6x??2(3x?5)?10?2800?2?10?70． 3x?53x?5400?3x?5，即x＝5时取“＝”所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70当且仅当
3x?5万元．
【总结升华】利用不等式的性质解决实际应用题，首先，要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确
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定是求什么量的最值(即题中的y)；其次，分析题目中给出的条件，建立y与x的函数关系式y?f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．
举一反三：
【变式1】建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为 元.
【答案】设水池池底的一边长为xm，则另一边长为
4m， x4x则总造价y为：y?480?80?(2x?2?)?2?480?320(x?)
4x?480?320?x?当且仅当x?4?480?320?2?2?1760（元） x4即x?2时，y取最小值为1760. x所以水池的最低造价为1760元.
【变式2】某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x(x∈N+)为二次函数关系(如下图所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了( )
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
【答案】由题图可得，营运总利润y??(x?6)?11，则营运的平均利润
∵ x∈N+， ∴
2y25??x??12， xxy??2xx25?12?2， x当且仅当x?25，即x＝5时取“＝”． x∴ x＝5时营运的年平均利润最大．
故选C.
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