小学六年级奥数
【例 25】 如图，ABCD为正方形，AMDE?NB?DE?FC?1cm且MNE?2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？
CFRCDFRSPAMMPMN?PCDCQSPQNB
AMN?MBECB
【解析】 (法1)由ABMQ?QC?//CD1216，有，所以PC13?2PM16，又
MQQC，所以
16MC，所以PQ?2312MC?2MC?MC，所以SSPQR占SAMCF的
，
所以SSPQR??1?(1?1?2)?(cm)．
(cm2)，
23?8?163(法2)如图，连结AE，则S?ABE而
RBAB?EREF?12?4?4?8，所以
12RBEF?ABEF12??2?312，S?ABR?23S?ABE?MNDC?(cm2)．
而S?MBQ所以MP?S?ANS??13MC?3?4?(cm2)，因为
13?43MPPC，
，则S?MNP?2?4?(cm2)，阴影部分面积等于
23S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP?163?3?3?43?(cm2)．
:EA?4:3，求AF:FB
【例 26】 如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CEA．
FBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27 S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?3:4，AE:CE?5:6，求AF:FB.
AFBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）
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所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
?5:4，求AF:FB
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CEA.
FBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．
AEFHB【分析】 连接AH、BI、CG．
由于CE:AE?3:2AEFID25GGHID25C
ACBC
，所以AE?，故S?ABE?25S?ABC?；
，所以
根据燕尾定理，S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3，S?BCG?:S?ABG?CE:EA?3:2S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9，则S?ACG?895?419，S?BCG919；
那么S?AGE?25S?AGC?25?41991925；
EG:EH??ACG同样分析可得
EG:GH:S?ACH?，则
15S:?，EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19SAC?4:9H， ．
15119，所以
H?B4:5:，同样分析可得10AG:GI:ID?10:5:4?510S?BAE?510??所以S?BIE，S?GHI?519S?BIE?519??【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF的面积．
A且三角形GHI:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，
A的面积是1，求三角形ABCFIBHGDEFICBHGDEC
【解析】 连接BG，S△AGC?6份
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根据燕尾定理，S△AGC得S△BGC?4:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4，S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6
(份)，S△ABG?9(份)，则S△ABC619?19(份)，因此
S△GHIS△ABC?S△AGCS△ABC?619,
?119同理连接AI、CH得
S△ABHS△ABC?,
S△BICS△ABC?619,所以
19?6?6?619
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
【巩固】如图，?ABC中BDCE?2EB?2DA，
，AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．
ADGFHB【分析】 如图，连接AI．
根据燕尾定理，S?BCI所以，S?ACIADGFHIC，
IC ，S?BCI?EBE:S?ACI?BD:AD?2:1:S?ABI?CF:AF?1:2:S?BCI:S?ABI?1:2:4，那么，S?BCI21?2?4S?ABC?27S?ABC．
同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的
1?27?3?1727，所以阴影三角形的面积等于?ABC面积的
，所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．
【巩固】如图在△ABC中，
DCDB?EAEC?FBFA?12,求
△GHI的面积△ABC的面积的值．
AAEHFIBGD?EHFICBGDC【解析】 连接BG,设S△BGCS△AGC?2S△ABHS△ABC271份，根据燕尾定理S△AGC?4:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG
:S△AGC?BD:DC?2:1,得
(份)，S△ABG,
S△BICS△ABC?27(份),则S△ABCS△GHIS△ABC??7(份)，因此
?17S△AGCS△ABC?27,同理连接AI、CH得
?,所以
7?2?2?27
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面
积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
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AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，
CM，CN．
根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则
S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?DEC15
?13同理可得，S△ABQ同理，S△BPMS四边形MNED?13?335?27,S△ABN1?12,而S△ABG，所以S△APQ?12?27?335??927?15?335，S△AQG?13?27?121．
S△BDM?21,所以S四边形PQMN?13?1，
?13?121?16?54270?335?970?542,S四边形NFCE21?542?16,S四边形GFNQ
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形
JKIH的面积是多少？
CFGKA【解析】 连接CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK所以S?ACKCDEGKB ，S?ABK?11?2?4JIFJIDEHB
HA?CD:BD?1:2:S?CBK?AG:CG?1:2，
121:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK?17，S?AGK?13S?ACK?．
类似分析可得S?AGI又S?ABJ?215．
，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1:S?CBJ?AF:CF?2:1，可得S?ACJ?14．
那么，SCGKJ?14?121?1784．
1784根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为
SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE?1784?2?215?13?6170，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为
6170?970，所以四边形JKIH的面积为1?．
【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与
BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
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AGMFCBDEAGNMB【解析】 连接CM、CN．
根据燕尾定理，S△ABMNDEFC
，所以S△ABM?15S△ABC:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3；
再根据燕尾定理，S△ABNAN:NF?4:3，那么
:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以
．
S△ANGS△AFC?12?44?3?27，所以SFCGN2?515???1??S△AFC??S△ABC?S△ABC7?7428?根据题意，有
15S△ABC?528S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)
【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面
积.
ADEIHEQDPAIMHNBFGCBFGC
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份)，则S△CBM14112?2(份),S△ACM??1(份),S△ABC?4(份), ,S△AIM?112S△ABC所以S△ABM?S△ACM??(112?S△ABC，所以S△ADM16S△ABC13S△ABM?112S△ABC,
所以S四边形ADMI)S△ABC?,
16同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2
,
121S△ABC所以S△ADN?13S△ABN?13?17S△ABC?121S△ABC,同理S△BEQ?
在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP所以S△ABP?15S△ABC:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2，所以S五边形DNPQE11?11?1?S△ABP?S△ADN?S△BEP????S△ABC?S△ABC?52121105??同理另外两个五边形面积是△ABC面积的
11105，所以S阴影?1?16?3?11105?3?1370
【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形
面积.
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