2.1 函数及其表示
核心考点·精准研析
考点一 函数的定义域
1.函数y=A.(-1,3)
的定义域是 ( )
B.(-1,3]
C.(-1,0)∪(0,3) D.(-1,0)∪(0,3]
2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是
( )
A.[-1,2 019] C.[0,2 020]
B.[-1,1)∪(1,2 019] D.[-1,1)∪(1,2 020]
的定义域为
( )
A.(0,3) C.[1,3)
B.[1,3)∪(3,8] D.[0,3)
0
3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数
4.函数f(x)=lg+(4-x)的定义域为____________. 【解析】1.选D.由题意得
解得-1 2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019]. 3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因为x-3≠0,所以函数 的定义域为[0,3). 4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4) ∪(4,+∞). 答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞) 题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________. 【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018]. 答案:[-2,1)∪(1,2 018] 1.具体函数y=f(x)的定义域 序号 1 2 3 4 5 6 7 f(x)解析式 整式 分式 偶次根式 奇次根式 指数式 对数式 y=x 0定义域 R 分母≠0 被开方数≥0 被开方数∈R 幂指数∈R 真数>0;底数>0且≠1 底数x≠0 2.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域 解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围. (1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域. (2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域. 【秒杀绝招】 1.排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证. 2.转化法解T4,将二次函数的定义域转化为二次不等式的解集,利用三个二次的关系解题. 考点二 求函数解析式 【典例】1.已知f =ln x,则f(x)=________. 2.已知f=x+x,则f(x)=________. 2-2 3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________. 4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f【解题导思】 序号 1 ·-1,则f(x)=________. 联想解题 由f,想到换元法 2 3 4 由f,想到配凑法 由f(x)是二次函数,想到待定系数法 由f,想到消去(也称解方程组)法 【解析】1.设t=+1(t>1),则x=, 代入f=ln x得f(t)=ln, 所以f(x)=ln (x>1). 答案:ln(x>1) 2.因为f=x+x= 2-2 -2, 又因为x+≤-2或x+≥2, 所以f(x)=x-2(x≤-2或x≥2). 答案:x-2(x≤-2或x≥2) 3.设f(x)=ax+bx+c(a≠0), 由f(0)=2,得c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+1)+b(x+1)+2-ax-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1, 2 2 2 2 2 所以即 所以f(x)=x-x+2. 2 答案:x-x+2 2 4.在f(x)=2f·-1中,将x换成,则换成x, 得f=2f(x)·-1, 由 解得f(x)=+. 答案:+ 函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代 g(x),便得f(x)的解析式. (4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 1.已知f( +1)=x+2 ,则f(x)=________. 【解析】令 2 +1=t(t≥1),则x=(t-1),代入原式得f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1, 222 所以f(x)=x-1(x≥1). 答案:x-1(x≥1) 2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________. 【解析】设f(x)=ax+b(a≠0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b, 所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立, 2 所以 所以f(x)=2x+7. 答案:2x+7 解得 考点三 分段函数及其应用 命 考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运题 算、数学抽象、直观想象等核心素养. 精 怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、解 图象等知识. 读 新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主. 学 1.求值问题的解题思路 霸 (1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值. 好 (2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然
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