（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率． 【答案】见解析
【解析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…）， 则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（
）
＝P（A1）P（A2）+P（）P（）
＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5． （2）P（X＝4且甲获胜）＝P（
A2A3A4）+P（）
＝P（）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4）
＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．
34．（2019?天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 【答案】见解析
【解析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故X～B（3，），
从而P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．
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所以，随机变量X的分布列为：
X P 0 1 2 3 随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．
（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），
且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，
由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0} ＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝
＝
35．（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率． 【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
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（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k＝0，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
X P 0 1 2 3 随机变量X的数学期望E（X）＝＝；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中， 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1）， 故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）＝．
所以事件A发生的概率：．
36．（2016?山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
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（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， 满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ∴小亮获得玩具的概率为
；
（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为
；
小亮获得饮料的概率为1﹣﹣＝，
∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．
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