(2) 由贝叶斯公式知 P(H2|A)=
P(AH2)P(H2)P(A|H2)20 ??P(A)P(A)536. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%,
22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.
(1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？ 解 设A表示“取到的是一件次品”, Bi(i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, B1,B2,B3是样本空间S的一个划分, 且
P(B1)?0.4,P(B2)?0.38,P(B2)?0.22，P(A|B1)?0.04,P(A|B2)?0.03,P(A|B3)?0.05.
(1) 由全概率公式可得
P(A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)?P(A|B3)P(B3) ?0.4?0.04?0.38?0.03?0.22?0.05 .
?0.0384.(2) 由贝叶斯公式可得
P(A|B1)P(B1)0.4?0.045, P(B1|A)???P(A)0.038412P(A|B2)P(B2)0.38?0.0319 P(B2|A)?, ??P(A)0.038464P(A|B3)P(B3)0.22?0.0555 P(B3|A)?. ??P(A)0.0384192习题1-6
1. 选择题
(1) 设随机事件A与B互不相容, 且有P(A)>0, P(B)>0, 则下列关系成立的是( ). (A) A, B相互独立. (B) A, B不相互独立. (C) A, B互为对立事件. (D) A, B不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).
(2) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) A与B独立. (B) A与B独立. (C) P(AB)?P(A)P(B). (D) A与B一定互斥. 解 因事件A与B独立, 故A与B,A与B及A与B也相互独立. 因此本题应选(D).
(3) 设事件A与 B相互独立, 且0 (A) P(A|B)?P(A). (B) P(AB)?P(A)P(B). (C) A与B一定互斥. (D) P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B). 解 因事件A与B独立, 故A与B也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C). 2．设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明 P(B|A)=P(BA)是事件A与B独立的充分必要条件. 证 由于A的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在. 充分性. 因事件A与B独立, 知事件A与B也独立, 因此 P(BA)?P(B),P(BA)?P(B), 从而 P(BA)?P(BA). 必要性. 已知P(BA)?P(BA), 由条件概率公式和对立事件概率公式得到 P(AB)P(A)?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)1?P(A), 移项得 P(AB)?1?P(A)??P(A)P(B)?P(A)P(AB), 化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立. 3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件： ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?12, 且P(ABC)?916, 求P(A). 解 根据一般加法公式有 P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(AB)?P(BC)?P(ABC). 由题设可知 A, B和C 两两相互独立, ABC??, P(A)?P(B)?P(C)?12, 因此有 P(AB)?P(AC)?从而 2P(B?C)[P(A)],P(A?BC)?P?( )0,9, 163111于是P(A)?或P(A)?, 再根据题设P(A)?, 故P(A)?. 44244． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0 解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有 12一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 C3p(1?p)2. 5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求： (1) 甲、乙两人同时命中目标的概率； (2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率. 解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是 (1) P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56; (2) P(AB)?P(AB)?0.7?0.2?0.3?0.8?0.38; (3) P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56?0.94. 总 习 题 一 1. 选择题：设A,B,C是三个相互独立的随机事件, 且0?P(C)?1, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ). (A)AB与C. (B)AC与C. (C) A?B与C. (D) AB与C. 解 由于A, B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确.. 2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率. 95?519?解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为. 100?9939695?5?5?9519?. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为 100?99198P(ABC)?3P(A)?3[P(A)]2?3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有生产的, 其它二厂各生产 1的产品是第一家工厂21. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂4生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率. 解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A={取到的产品是次品}, Bi={取到的产品属于第i家工厂生产}, i=1, 2, 3. 由于BiBj=?(i≠j, i, j=1, 2, 3)且B1∪B2∪B3=S, 所以B1, B2, B3是S的一个划分. 又 P(B1)= 111, P(B2) =, P(B3)=, 244224P(A| B1)=, P(A| B2)=, P(A| B3)=, 100100100由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3) = 121214?????=0.025. 2100410041004. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？ 解 设A={设备调整成功}, B={产品合格}. 则全概率公式得到 P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.75?0.9?0.25?0.3?0.75. 由贝叶斯公式可得 P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B|A)0.75?0.9??0.9. P(B)0.755. 将两份信息分别编码为A和B传递出去. 接收站收到时, A被误收作B的概率为0.02, 而B被误收作A的概率为0.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A, 问原发信息是A的概率是多少？ 解 以D表示事件“将信息A传递出去”，以D表示事件“将信息B传递出去”，以R表示事件“接收到信息A”,以R表示事件“接收到信息B”.已知 21P(RD)?0.02,P(RD)?0.01,P(D)?,P(D)?. 33由贝叶斯公式知 P(DR)? P(RD)P(D)P(DR)196. ??P(R)P(RD)P(D)?P(RD)P(D)197习题2-2 1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0 ?1,A发生, X??0,A不发生.?写出随机变量X的分布律. 解 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p. 或者 X 0 1 P 1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为 1357,,,. 试确定常数c, 并计算条件概率P{X?1|X?0}. 2c4c8c16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 1357????1, 2c4c8c16c所以c?37. 161P{X??1}82c所求概率为 P{X<1| X ?0}=. ??157P{X?0}25??2c8c16c3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 5若P{X≥1}?, 求P{Y≥1}. 95kkn?k解 注意p{x=k}=Cnpq,由题设?P{X≥1}?1?P{X?0}?1?q2, 92故q?1?p?. 从而 3219. P{Y≥1}?1?P{Y?0}?1?()3?3274. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为19, 求每次试验成功的概率. 27解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是有成功的概率是 19，那么一次都没278813. 即(1?p)?, 故 p=. 272735. 若X服从参数为?的泊松分布, 且P{X?1}?P{X?3}, 求参数?. 解 由泊松分布的分布律可知??6. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律. 解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3， 34，5，在5个数中取3个共有C5?10种取法.
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