∴????=3????=3×27=36????，
在????△??????中，????=√????2+????2=45????， ∵????=25????， ∴????=20????，
∴????的中点Q在线段AB上， ∵????=30????， ∴????=15????，
∴????的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上， ∵????//????， ∴△??????∽△??????， ∴
????????
????
????
?????????????
44
=
，即54=????
，
∴????=54?2????， 设????=??，
则??矩形????????=?????????=??(54?2??)=?2??2+????=?2(???
272
272
)2
+
7292
，
∴当????=
时，??矩形????????最大值为，
∴矩形PQMN的最大面积为4?????????=486????2， 答：该矩形的面积为486????2．
1
16.(1)证明：连接OD，
∵????切⊙??于点D，
∴????⊥????， ∵????⊥????， ∴????//????， ∴∠??????=∠??， ∵????=????， ∴∠??????=∠??????， ∴∠??????=∠??， ∴????=????；
(2)解：由(1)????//????， ∴∠??????=∠??， ∴cos∠??????=????????=， 5
????
2
在????△??????中，cos∠??????=????， ∵????=????，????=????+????=3+????， ∴3+????=5， ∴????=4.5．
3
2
17.解：(1)∵∠??????=30°，????⊥????，
∴∠??????=60°， ∵∠??=60°，
∴△??????是等边三角形， ∵????=2， ∴????=2，
在△??????中，∠??????=90°，∠??=60°，????=2， ∴????=4，
∴????=?????????=2；
(2)①∠??????=90°，
设????=??，根据题意得????=4???，????=√，????=4???，
33??∴
????????
=
√3， 2
∴??=
125
，
3??√
，????=4???， ②∠??????=90°，设????=??，根据题意得????=4???，????=3
∴????=
????
√3， 2
∴??=3，
∴△??????是直角三角形时，AO长为5或3；
(3)设????=??，根据题意得????=4???，????=√，设重叠部分的面积为S，
3312
8
8
根据题意得：??=??△?????????△?????????△??????， ∴??=2√3?2????整理得：??=?∵??=?
5√312
1
√3??3
?
√3(44
???)2，
5√32
??12
+2√3???2√3，
<0，
∴??有最大值， ∴当??=
12
S最大值=2√3． 时，5
5
18.解：此车超速，
理由：∵∠??????=90°，∠??????=45°， ∴△??????是等腰直角三角形， ∴????=????=100米， ∵∠??????=60°，
∴????=√3????=100√3≈173米， ∴????=?????????=73米， ∴
733
≈24米/秒≈86千米/小时>80千米/小时，
∴此车超速．
19.(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴????=????，∠??=∠??=90°， ∵??是AD中点， ∴????=????， ∴△??????≌△??????， ∴????=????． (2)①解：如图2中，
由(1)可知，△??????是等腰直角三角形， ∴∠??????=∠??????=45°， ∵∠??????=∠??????=90°， ∴∠??????=∠??????=45°， ∵∠??????=∠??????=90°， ∴∠??????=∠??????， ∵????=????， ∴△??????≌△??????；
② ∵ △??????为等腰直角三角形 ∴ ?? ?△?????? =2????2 作???? ⊥????于点H
易证：△??????≌△??????(??????) ∴??四边形????????=??四边形???????? 当S ?△??????最小时S ?△??????最大 当ME最小时
即????=????，即??=1；
如图3中，作????⊥????于??.设????=??，则????=2??，③解：????=????=√3??，????=√6??.
1
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