点和沿CB向B点运动。
（1）经过几秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在线段AC上，是否存在一点P，使2EP?AE?EF?AP？若存在，请说明P点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。
10．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE+CF的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
11．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
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（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
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参考答案
1．解：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C。 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC。
（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5。
∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ。 （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示， 由（1）可知，△APQ∽△ABC，
PAPQ3?PBPB4，即，解得：PB?。 ??ACBC35445∴AP?AB?PB?3??。 33∴（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示, ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P。
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A。∴BQ=AB。 ∴AB=BP，点B为线段AB中点。 ∴AP=2AB=2×3=6。
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为5或6。 3【解析】 试题分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC。 （2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP。 2．解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6。
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。∴EO=CO，FO=CO。 ∴OE=OF。
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。 ∵CE=12，CF=5，∴EF?122?52?13。 1EF=6.5。 2（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO，
∴OC=答案第1页，总10页
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∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形。 ∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形。 【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案。 （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长。
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可。 3．解：（1）证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，∴∠ADP=∠CDQ。
??DAP??DCQ?90??在△ADP与△CDQ中，∵?AD?CD，
??ADP??CDQ?∴△ADP≌△CDQ（ASA）。∴DP=DQ。 （2）猜测：PE=QE。证明如下： 由（1）可知，DP=DQ。
?DP?DQ?在△DEP与△DEQ中，∵??PDE??QDE?45?，
?DE?DE?∴△DEP≌△DEQ（SAS）。∴PE=QE。
（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，∴AP=8，BP=2。
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，∴CQ=AP=8。 与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，∴PE=QE。 设QE=PE=x，则CE?BC?CQ?QE?14?x。
2在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP+BE=PE，即：22?（14?x）?x2， 2
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5050，即QE=。 771150150∴S?DEQ?QE?CE???6?。 2277150∵△DEP≌△DEQ，∴S△DEP=S△DEQ=。 7【解析】（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP=DQ。 （2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE=QE。 （3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ。在Rt△BPE中，利用
150勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得S?DEQ?，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S
7150。 △DEQ=74．解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
ABBPABBP∴当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶??CDPDPDCD解得：x?答案第2页，总10页
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