△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE?x，V(x)表示四棱锥P?ACFE的体积．
P
A
C
D F
E
B
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ 【解析】
【牛刀小试】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABCD中，
uuuruuur22AB·BD=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且2AB?BD?4，则三
棱锥A－BCD的外接球的表面积为____. 【答案】4? 【解析】
【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD中,AB?12,AD?6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE?3,BF?4,将?BCE沿BE折起至?PBE位置(如右图所示),连结AP、
EF、PF,其中PF?25. (Ⅰ)求证:PF?平面ABED； (Ⅱ)求直线AP与平面PEF所成角的正弦值.
精选
D E . . F
C
D A 图
P C
F
B
E A 图
B
【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,PB?BC?6,PE?CE?9, 在?PBF中,PF2?BF2?20?16?36?PB2,所以PF?BF 在图1中,易得EF?62??12?3?4??61,
2在?PEF中,EF2?PF2?61?20?81?PE2,所以PF?EF
又BFIEF?F,BF?平面ABED,EF?平面ABED,所以PF?平面ABED.
(Ⅱ)方法一:以D为原点,建立空间直角坐标系D?xyz如图所示,则
A x z D P D A P C
H F
解法二图
E F 解法一图 C y B E B
A?6,0,0?,P6,8,25,
uuuruuuruuurE?0,3,0?,F?6,8,0?,所以AP?0,8,25,FP?0,0,25,EF??6,5,0?,
??????uuur5????n?FP?0?25?z?0?x??y设平面PEF的法向量为n??x,y,z?,则?uuu,即?,解得?r6
6x?5y?0????n?EF?0??z?0精选
【牛刀小试】如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A?。 ABA/EEDFBDFC图3（1)求证：A?D⊥EF;
（2）求二面角A??EF?D的平面角的余弦值. 【解析】
精选
方法2：在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF，∴EF=2,
∵A/E= A/F=1，∴A/E2+ A/F2=EF2∴A/E⊥A/F, 所以以A/为坐标系的原点，A/E,A/D,A/F分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A/（0,0,0），D(0，2，0),E(1，0，0),F(0，0，1)
uuuruuur∴ED?（-1,2,0），EF?（-1,0,1），
ruuuruuurrr设平面DEF的法向量是n?(x,y,z)，则n●ED?0，n●EF?0， r??x?2y?0∴?，取n=（2,1,2），
?x?z?0?uuuur/又AD?(0，2，0)是平面A/EF的法向量，
精选
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