2010版实变函数复习思考题

实变函数复习题2010版

实变函数复习思考题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题后的括

号内.)

1. E是实数全体，则E是（ ）.

A. 可数； B.不可数； C.有限集； D.不可测集. 2. 有限个可数集的并集是（ ）.

A.可数； B.不可数； C.有限集； D.以上都不对. 3. 若A是有限集或可数集,B是不可数集,则（ ）.

A. A?B是可数； B. A?B是不可数； C. A?B?c； D. A?B?B. 4. 设f(x)是定义在E??n上的实函数,则下列式子不成立的是（ ）.

1??A.E[f?a]??Ef?a?； B.E[f?a]???n??n?1????E?fn?1???a?1?； ?n??C. E[f???]??E[fn?1?n]； D. E[f?a]??E?a?n?1f?a?n?.

5. 设Q是R1中有理数全体,则在R1中Q的导集Q?是（ ）. A. Q; B. ?; C. R1 ; D. R1\\Q. 6. 设?Gn?是一列开集,G???Gn?1n,则G一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C. G?型集; D. 开集，也是闭集. 7. 设?G?????是一族开集,G??G???? ,则G一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C. G?型集; D. 开集，也是闭集. 8. 设?F?????是一族闭集,F??F?,则F???一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集，也是闭集. 9. 设?Fn?是一列闭集,F???Fn?1n,则F一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集，也是闭集. 10. 设Q是?中有理数全体，则mQ?（ ）.

1第 1 页 共 11 页

实变函数复习题2010版

A.0; B.??; C.1; D.不存在. 11. 关于Cantor集P,下述说法不成立的是（ ）.

A. P无内点; B. P中的点都为孤立点; C. P中的点都为聚点; D. P是闭集. 12. 设E是任一可测集,则( )．

A.E是开集; B．E是闭集;

C.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??; D．E是F?型集或G?型集.

13. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,则有( ). ??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;

?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.

?n?1?n???n?1?n??14. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,mE1???,则有( ). ??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;

?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.

?n?1?n???n?1?n??15. 设E?Rn,mE???,?fn(x)?在E上几乎处处收敛于f(x).则( ). A．?fn(x)?在E上处处收敛于f(x);

B．?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x);

C. ?fn(x)?在E上一致收敛于f(x);

D. 存在?fn(x)?的子列?fn(x)?,使得?fn(x)?在E上一致收敛于f(x).

ii16. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则对任意的实数a,有( )．

A．E[f?a]是闭集; B．E[f?a]是开集; C. E[f?a]是零测集; D．以上都不对.

第 2 页 共 11 页

实变函数复习题2010版

17. 设f(x)是定义在E上的实值函数.令f(x)?max?f(x),0?,f(x)??min?f(x),0?,则下

??述哪个说法不成立的是（ ）

A．f?(x)与f?(x)都是定义E上的非负函数; B．f(x)?f?(x)?f?(x),f(x)?f(x)?f(x); C.E[f????0]?E[f??0]??;

D．f(x)在E上可测?f?(x)与f?(x)都在E上可测.

18. 设?fn(x)?是可测集E上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中是( )错误的． A．sup?fn(x)?是可测函数; B．inf?fn(x)?是可测函数;

nnC. 若fn(x)?f(x),则f(x)是可测的; D．若fn(x)?f(x),则fn(x)? f(x). 19. 设在可测集E上fn(x)?f(x),fn(x)?g(x).则( ). A.f(x)?g(x),x?E; B. f(x)?g(x),x?E;

C. f(x)?g(x)a.e.于E; D. ?f(x)dx?E?Eg(x)dx.

20. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)是（ ）.

A. Lebesgue可积函数; B. f(x)在E上几乎处处连续;

C.存在简单函数列??n(x)?使?n(x)?f(x)a.e于E; D. mE[f???]?0. 21. 设f(x)是可测集E上的非负可测函数,则f(x)( )．

A．是E上的连续函数; B．是E上的勒贝格可积函数;

C.是E上的简单函数; D．在E上的积分确定.

22. 设f(x)是可测集E上的有界可测函数,则 ( )．

A．存在简单函数列??n(x)?使在E上一致收敛于f(x); B．f(x)是E上的勒贝格可积函数;

C. f(x)是E上的黎曼可积函数; D．f(x)在E上的积分确定.

第 3 页 共 11 页

实变函数复习题2010版

二、填空题:

11??1． 设Ai??1?,1?,i?1,2,?.则?Ai? .

??ii??i?11??2． 设Ai?0,1??,i?1,2,?.则?Ai? .

?i??i?1??????3． eS??An?? ，eS??An?? .

?n?1??n?1???4． 设?An?是Rn中任意一列集合,则limAn? ，limAn? . n??n??5． 设An?0,1?,.则limAn? . ??n?1,2,?n??n??6． 设?An?是一列集合,令Bn? ，则?Bn?是一列互不相交的集合,且?An?n?1???1??Bn?1n.

7． 给出(?1,1)与(??,??)之间的一一对应关系 .

n8． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的内点是指 .

n9． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的外点是指 .

n10． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的聚点是指 .

n11． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的孤立点是指 .

n12． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的界点是指

.

13． 设E?Rn,若 ,则称E是开集. 14． 设E?R,若 ,则称E是闭集. 15． 设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R内的E1?? ,E1? ,E1? . 1?n第 4 页 共 11 页