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【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：?AMB??ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM?CM的值最小；
②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM?BM?CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.
?
【练习题答案】
1．36 2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M． 设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a 又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC， ∴BO=EM=
A D
N E M B C
12BD=a． 22 在Rt△AEM中，AE=2a，EM=
2a． 2 ∴∠CAE=30°． 则∠EAB=15°．
o
3.（1）证明：∵∠AEF=90，
oo
∴∠FEC+∠AEB=90．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90， ∴∠BAE=∠FEC；
（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
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∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180－45=135． 又∵CF是∠DCH的平分线，
ooo
∠ECF=90+45=135．
在△AGE和△ECF中，
o
o
o
?AG?EC,?o??AGE??ECF?135, ??GAE??FEC? ∴△AGE≌△ECF；
（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．
o
又∵∠AEF=90，
∴△AEF是等腰直角三角形．
由AB=a，BE=
15a，知AE=a， 22∴S△AEF=
52
a． 8A D
4.【解析】：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中，
222
∵EF＋FC＝EC，
F E N M B C
x3x，EF＝. 22学习好资料 欢迎下载
∴（
3x22
）＋（x＋x）＝
22?3?1?.
2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.
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