规律探索
一.选择题
1.（2019?湖北省鄂州市?3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…
Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右
的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（ ）
A．22n
B．22n﹣1
C．22n﹣2
D．22n﹣3
【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2
＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，
BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝
解；
，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形， ∵直线y＝
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1， ∵A1（1，0）， ∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°， ∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1， 易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°， ∴B1B2＝∴S1＝
，B2B3＝2×1×
＝
，…，BnBn+1＝2n，S2＝
×2×2
＝2
，
，…，Sn＝
×2n﹣1×2n＝
；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
2.（2019?四川省达州市?3分）a是不为1的有理数，我们把＝﹣1，﹣1的差倒数
＝
称为a的差倒数，如2的差倒数为
，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差
1
倒数…，依此类推，a2019的值是（ ） A．5
B．﹣
C．
D．
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解． 【解答】解：∵a1＝5，
a2＝a3＝
＝＝﹣，
＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣
，
三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝故选：D．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
3.（2019湖南常德3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ） A．0
B．1
C．7
D．8
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字． 【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴个位数4个数一循环， ∴（2019+1）÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0． 故选：A．
【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键． www.czsx.com.cn
4.（2019云南4分）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是 A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）nx2n－1 C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）nx2n＋1
【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(?1)n?1，
或(?1)n?1，（n为大于等于
1的整数）来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n?1，故选C 5 （2019·广西贺州·3分）计算
+
+
+
+…+
的结果是（ ）
2
A． B． C． D．
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算． 【解答】解：原式＝＝＝
．
故选：B．
【点评】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
6．(2019?湖南常德?3分)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( ) A．0
【考点】规律探究．
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字． 【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴个位数4个数一循环， ∴(2019+1)÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是0．故选A．
【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
7．(2019?云南?4分)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(?1)n?1B．1 C．7 D．8
x2n?1 B．(?1)nx2n?1 C．(?1)n?1x2n?1 D．(?1)nx2n?1
【考点】规律探究．
【分析】观察各单项式，发现奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(?1)n?1或(?1)n?1(n为大
于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n?1． 【解答】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(?1)n?1或(?1)n?1(n为大于等
于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n?1，故选C．
【点评】此题主要考查了数式规律探究．奇数项系数为正，偶数项系数为负，一般可用(?1)n?1或
(?1)n?1(n为大于等于1的整数)来调节正负．
8．（2019湖北省鄂州市）（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、
B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左
到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（ ）
3
A．22n
B．22n﹣1
C．22n﹣2
D．22n﹣3
【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2
＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，
BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝
解；
，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形， ∵直线y＝
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1， ∵A1（1，0）， ∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°， ∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1， 易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°， ∴B1B2＝∴S1＝
，B2B3＝2×1×
＝
，…，BnBn+1＝2n，S2＝
×2×2
＝2
，
，…，Sn＝
×2n﹣1×2n＝
；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键． 二.填空题
1．（2019黑龙江省绥化3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→
A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是 ．
4
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