《量子力学》考研基础概念汇总

?4303244a0?2222a??a0(a0p??)

?(2a0?)3/2??(a0p??)2222

动量几率分布函数

358a0? ?(p)?c(p)??2(a0p2??2)42

6 设t=0时，粒子的状态为

?(x)?A[sin2kx?12coskx]

求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：

11?(x)?A[sin2kx?12coskx]?A[2(1?cos2kx)?2coskx]

?

A[1?cos2kx?coskx] 2Ai2kxikx?[1?1?e?i2kx)?1?e?ikx)] 2(e2(e2A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1[e?2e?2e?2e?2e]?22??

?可见，动量

pn的可能值为0 2k? ?2k? k? ?k?

的可能值为0 2pn 动能

2?2k2?2? 2k2?2?k2?2k2?2 2?2?

对应的几率

?n应为

A2A2A2A2A2( )?2?? 416161616

11111( )?A2?? 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

A2A2A2?4?)?2????2?? 1???n?(4162n ∴ ∴ 动量

A?1/??

p的平均值为

p??pn?nn

A2A2A2A2?0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???016161616

2pnp2???n T?2?n2?

2k2?21k2?21?0???2???2

?82?85k2?2?8?

7 设氢原子处于状态

?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值

E2???es22?n22???es28?2

(n?2)

角动量平方有确定值为

L2??(??1)?2?2?2 (??1)

角动量Z分量的可能值为

LZ1?0LZ2???

其相应的几率分别为

14，

3 4 其平均值为

LZ?133?0?????? 444?8 试求算符F??ieixd的本征函数。 dx?的本征方程为 解：F

???F? F即 ?ieix

d?F?dxdd)?d(?Feix) dxdxd???iFeixdx??d(Feixd?lncdxln???Feix

??ce?Fe?ix?是F的本征值） （Fdd)x]2??[x]?? dxdxdddd解：原式?[()x][()x]??[x][x]?

dxdxdxdxdd ?[()x][sinx?xcosx]??[x][xcosx]?

dxdx9 设波函数

?(x)?sinx，求[(

?(sinx?xx)?x(cosx?cosx?x)?x(x?x)

?sinx?2xcosx

?和B?都是厄米的，那么 A?+B?)也是厄米的 A10 证明：如果算符

(

证：

*???d???*B?)?d???*A?(A?B1212???1??2d?

??)*d???(B???2(A1?2??1)*d???B?)?]*d????2[(A1

∴

?+B?也是厄米的。 A11 求

?P???Lxx?PxLx?? ?P???Lyx?PxLy??

?P???Lzx?PxLz??

解：

?P??L??)P??P?(y??z?) ??z?z?P?P?PLxx?Pxx?(yPyxxzy?P??P?P??y?z??P??z?P?yzx?zyx?PxPx?Py) ?P??P?P???P??P?P??P?yzx?zyx?yPzx?zyx)

?P??L???x?)P??P?(z??x?) ?P?P?PLyx?Pxy?(zxzxx?Pxz

= 0

?2?x?P??z??P?x?P??z) ?P?zxzx?Px?PzxP?2?x?P??z?2?P?x???z) ?P??zPPxzxxxP??P?x?P????(xxx)Pz

? ??i?Pz

?P?????????????Lzx?PxLz?(xPy?yPx)Px?Px(xPy?yPx)

?P???2???????P?xyx?yPx?PxxPy?PxyPx ?P???2?P?x?P????x2 ?xxy?yPxxPy?yP??P?x?P???(xxx)Py ? ?i?Py

?x?12 求Lx? 解：

??? L?x???x??? ????L?Lxy?xLy?? Lzxxz?x?)x??z?) ?????z?z??x?(y?P?P?PLx?xLx?(yPyzy?x?x? ?P??P????z?x?z?P?yz?zy?xyPy?x?x?x?P??P???zx??z??P?yz?zy?yPy

= 0

?x??x?)x??x?) ????P??x?(z?P?P?PLy?xLy?(zxzxz2??x?x??x??????P??z?xP?xzPPz xzx

?x???x) ?(P?zx?xP? ??i?z?x??y?) ???????x)x??x?(x?P?PLz?xLz?(xPy?yPyx??y?x?2P?P??2?????xyx?xPy?yxPx

??P?x?(x?P??yxx)

? ??i?yLx的矩阵元和L2x的矩阵元。

13 求在动量表象中角动量