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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
根式的概念 如果xn?a,那么x叫做a的n次方根 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数
（2）．两个重要公式
n为奇数 ?a? nn①a???a(a?0) ；
?|a|???a(a?0)n为偶数
??n②(na)?a（注意a必须使na有意义）。
n符号表示 备注 n?1且n?N? 零的n次方根是零 a ?na(a?0) 负数没有偶次方根 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:amn?nam(a?0,m、n?N?,且n?1)。
mn②正数的负分数指数幂: a??1amn?1nam(a?0,m、n?N?,且n?1)
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q)。 ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q)。 ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q)。. 3．指数函数的图象与性质
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y=ax 图象 a>1 0
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义
如果a?N(a?0且a?1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作x?loga，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 （2）几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2、对数的性质与运算法则
1gl（1）对数的性质（a?0,且a?1）：①loga?0，②oxN特点 底数为aa?0,且a?1 底数为10 底数为e 记法 logaN lgN lnN gol③aa1?，aaN?N，④oglaNa ?N。
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（2）对数的重要公式：
①换底公式：logbNlogaN?(a,b均为大于零且不等于1,N?0)； bloga②loga?b1。 alogb（3）对数的运算法则：
如果a?0,且a?1，M?0,N?0那么 ①loga(MN)?logaM?logaN； ②logaM?logaM?logaN； Nn③logaM?nlogaM(n?R)；
④logamb?nnlogab。 m3、对数函数的图象与性质 a?1 图象 性（1）定义域：（0,+?） 质 （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当0?x?1时，y?(??,0)； 当x?1时，y?(0,??) （5）在（0,+?）上为增函数 0?a?1 （4）当x?1时，y?(??,0)； 当0?x?1时，y?(0,??) （5）在（0,+?）上为减函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0 ;. '. 4、反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义 α 形如y=x（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x，y=x，y=x，y?x，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，y?x， y=x-1； 当0 3 2 121212y?x y=x-1 ?x|x?R且x?0? ?y|y?R且y?0? 奇 x∈(0,+?)时，减； x∈(-?,0)时，减 x∈[0，??）时，增； 增 x∈(??,0]时，减 定点 （1，1） 三：例题诠释，举一反三 知识点1：指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A) ??3?340.53[(3)(5)?(0.008)?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.2589（1）计算：； 2211;. '. a?8ab3（2）化简：4b?2ab?a23234313?(a?2323ba?3a2?)?5aa?3a 变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）: (a?b)?a?b?123?121213（1） 6a?b5; 211?513?2?1?3322（2）a?b?(?3ab)?(4a?b). 6700.25422631.5?(?)?8?2?(2?3)?()363 (3) ?13知识点2：指数函数的图象及应用 1a1b()?()，下列五个关系式：①0＜b＜a。②a＜例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式23b＜0。③0＜a＜b。④b＜a＜0。⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式：（2010华附A）若直线y?2a与函数y?|a?1|(a?0 且a?1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质 x?2x?b例3.（2010省实B）已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。 2?2（Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）判断函数f?x?的单调性。 （Ⅲ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围． 22exa?变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. aex（1）求a的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 知识点4：对数式的化简与求值 例4.（2010云浮A）计算：（1）log2?3(2?3) 2 （2）2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)?lg2?12 ;.
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