m?125mx?x?m2?3m?2
44 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 （1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）
? 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
? 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。 y x 1 O 1 m?125m解：（1）∵拋物线y= ?x?x?m2?3m?2经过原点，∴m2?3m?2=0，解得m1=1，m2=2，
44y D 由题意知m?1，∴m=2，
125∴拋物线的解析式为y= ?x?x， C E 42B 125∵点B(2，n)在拋物线y= ?x?x上， A x 42O P ∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。 图1 （2）? 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），由
1591122C点在拋物线上，得2a= ??(3a)2??3a，即a2?a=0，解得a1=，a2=0（舍去），
4242922∴OP=。
9 ? 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x?b，由点A(10，0)，
1点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= ?x?5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三
2角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。
如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、
1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ?
2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t?4t?2t=10，∴t=
10。 7 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。
如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10?2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t?2t?2t=10，∴t=2。
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，
如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t?2t=10，
∴t=
101010。综上，符合题意的t值分别为，2， 。 373y D
y D y D E B C M M E M C F B (C) A x N (E) N F Q O P A x N B F Q P O 图2 x
图3 O Q(P)
图4
2、（2010北京）问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究?DBC与?ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ；可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ；
(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
B
A C
解：(1) 相等；15?；1：3。
(2) 猜想：?DBC与?ABC度数的比值与(1)中结论相同。
证明：如图2，作?KCA=?BAC，过B点作BK//AC交CK于点K， 连结DK。∵?BAC?90?，∴四边形ABKC是等腰梯形， ∴CK=AB，∵DC=DA，∴?DCA=?DAC，∵?KCA=?BAC， ∴?KCD=?3，∴△KCD?△BAD，∴?2=?4，KD=BD， K 6 B
4 1 2 ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴?ACB=?6，
∵?KCA=2?ACB，∴?5=?ACB，∴?5=?6，∴KC=KB， ∴KD=BD=KB，∴?KBD=60?，∵?ACB=?6=60???1， 5 D 3 A ∴?BAC=2?ACB=120??2?1， C 图2 ∵?1?(60???1)?(120??2?1)??2=180?，∴?2=2?1，
∴?DBC与?ABC度数的比值为1：3。
3、（2010郴州）如图（1），抛物线y?x?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），ABE与ACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不2存在，说明理由. yy CC E EBOxOx B AA 图（1） 图（2） 第26题 解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
（2）当b＝0时，直线为y?x，由??y?x1?2?x2??2?y?x2?x?4解得??xy，?y ?1?2?2??2所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） SABE?12?4?2?4，SACE?12?4?2?4 y所以S?SCABEACE（利用同底等高说明面积相等亦可） GR当b??4时，仍有SABE?SACE成立. 理由如下
BOFQ由??y?x?b，解得??x1??y?x2?x?4??b?4，?b?x2??b?4 ??y1?b?4???y2??b?4?b所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?b?4， 而ABE和ACE是同底的两个三角形， 所以SABE?SACE.
（3）存在这样的b.
因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90? 所以VBEF?VCEG，所以BE?CE，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，OBC为直角三角形，因为GE?b?4?b?b?b?4?GC 所以 CE?2?b?4，而OE?b
b2??2，
所以2?b?4?b，解得b1?4,所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线y?ax?bx?c恰好经过x轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位? 解：
2
解：①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC， ∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA． 设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
m2?(3)2?(2m)2，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，3）
2
②设抛物线的解析式为y=a（x—2）+3
代入A点坐标可得a=—3
2
抛物线的解析式为y=—3（x—2）+3
2
③设抛物线的解析式为y=—3（x一2）+k，代入D（0，3）可得k=53
2
所以平移后的抛物线的解析式为y=—3（x一2）+53，平移了53一3=43个
单位．
5、（2010长沙）已知：二次函数y?ax?bx?2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a?b?0且a、b为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围． 解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx
2
（2）∵y=ax+bx－2过（1，0）即a+b=2 由?2?y??bx2?y?(2?b)x?bx?22得 ax?2(2?a)x?2?0①
22 ∵△＝4(2?a)?8a?4(a?1)?12?0
∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴两函数有两个不同的交点．
（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴x1?x2??22(a?2)2a?4 x1x2? ?aaa24a2?8a?1642∴x1?x2?(x1?x2)?4x1x2＝?(?1)?3 2aa或由求根公式得出。 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1 令函数y?(?1)?3 ∵在1 4a2∴4?(?1)?3?12 ∴2?4a24(?1)2?3?23 ∴2?x1?x2?23 a6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运 动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S； （2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； 1（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?x2?bx?c经过B、P两点，过线段 4BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比． y C B
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