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C．M运动的加速度大小为(1－sin α)g D．M运动的加速度大小为
M－mg MBC [按题图甲放置时，M静止，则Mgsin α＝mg，按题图乙放置时，由牛顿第二定律得Mg－mgsin α＝(M＋m)a，联立解得a＝(1－sin α)g.对m由牛顿第二定律得T－mgsin α＝ma，解得T＝mg，故A、D错误，B、C正确．]
2．如图3-3-7所示的装置叫做阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律．绳子两端的物体下落(上升)的加速度总是小于自由落体的加速度g，同自由落体相比，下落相同的高度，所花费的时间要长，这使得实验者有足够的时间从容的观测、研究．已知物体A、B的质量相等均为M，物体C的质量为m，轻绳与轻滑1
轮间的摩擦不计，绳子不可伸长，如果m＝M，求：
4
图3-3-7
(1)物体B从静止开始下落一段距离的时间与其自由落体下落同样的距离所用时间的比值；
(2)系统由静止释放后运动过程中物体C对B的拉力大小．
【解析】 (1)设物体的加速度为a，绳子中的张力为F，对物体A，F－Mg＝Ma 对BC整体，(M＋m)g－F＝(M＋m)a 联立解得：a＝g
2M＋m1g将m＝M，代入，得a＝ 49
12
物体B从静止开始下落一段距离，h＝at
212
自由落体下落同样的距离，h＝gt0
2解得，＝mtt0g＝3 a即物体B从静止开始下落一段距离的时间与其自由落体下落同样的距离所用时间的比值为3.
8
(2)设B对C的拉力为T，对物体C，由牛顿运动定律，mg－T＝ma，解得T＝mg－ma＝
9
mg
8
由牛顿第三定律，物体C对B的拉力为mg.
98
【答案】 (1)3 (2)mg
9
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●考向2 水平方向上运动的连接体问题
3．(2017·上饶二模)如图3-3-8所示，在光滑的水平面上有一段长为L、质量分布均匀的绳子．在水平向左的恒力F作用下从静止开始做匀加速运动．绳子中某点到绳子左端的距离为x，设该处绳的张力大小为FT，则能正确描述FT与x之间的关系的图象是( )
图3-3-8
【解析】 设单位长度质量为m；对整体分析有：F＝Lma； 则对(L-x)段绳分析可知：FT＝(L－x)ma，联立解得：
FFT＝F－x，故可知FT与x为一次函数关系，故D正确．
L【答案】 D
4．(多选)(2015·全国卷Ⅱ)在一东西向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩连接好的车厢．当机车在东边拉着这列车厢以大小为a的加速度向东行驶时，连接某两相邻车厢的2
挂钩P和Q间的拉力大小为F；当机车在西边拉着车厢以大小为a的加速度向西行驶时，P3和Q间的拉力大小仍为F.不计车厢与铁轨间的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为( )
【导学号：】
A．8 C．15
B．10 D．18
BC [设该列车厢与P相连的部分为P部分，与Q相连的部分为Q部分．设该列车厢有
n节，Q部分为n1节，每节车厢质量为m，当加速度为a时，对Q有F＝n1ma；当加速度为a2
时，对P有F＝(n－n1)ma，联立得2n＝5n1.当n1＝2，n1＝4，n1＝6时，n＝5，n＝10，n3＝15，由题中选项得该列车厢节数可能为10或15，选项B、C正确．]
相同加速度连接体的处理方法
1．处理连接体问题时，整体法与隔离法往往交叉使用，一般的思路是先用整体法求加速度，再用隔离法求物体间的作用力．
2．隔离法分析物体间的作用力时，一般应选受力个数较少的物体进行分析．
1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态；
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动力学的临界极值问题分析 23
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(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；
(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．几种临界状态和其对应的临界条件
临界状态 速度达到最大 两物体刚好分离 绳刚好被拉直 绳刚好被拉断 临界条件 物体所受的合外力为零 两物体间的弹力FN＝0 绳中张力为零 绳中张力等于绳能承受的最大拉力 [母题] (2014·上海高考)如图3-3-9所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m的光滑球．静止时，箱子顶部与球接触但无压力．箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为v.
图3-3-9
(1)求箱子加速阶段的加速度大小a′；
(2)若a>gtan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力．
【自主思考】 (1)若球不受箱子的作用力，箱子减速的加速度a0为多大？
提示：球不受箱子的作用力，只受重力mg和斜面的支持力FN，则有：mg＝FNcos θ，
FNsin θ＝ma0，可得：a0＝gtan θ.
(2)a
提示：a
【解析】 (1)由匀变速直线运动的公式有v＝2a′s1，v＝2as2，且s1＋s2＝s
2
2
av2
解得：a′＝2.
2as－v(2)假设球刚好不受箱子作用，应满足FNsin θ＝ma0，FNcos θ＝mg，解得a0＝gtan θ，箱子减速时加速度水平向左，当a>gtan θ时，
箱子左壁对球的作用力为零，顶部对球的力不为零． 此时球受力如图 由牛顿第二定律得
FN′cos θ＝F＋mg FN′sin θ＝ma
解得F＝m?
?a－g?.
?
?tan θ?
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av2
【答案】 (1)2 (2)0
2as－v[母题迁移]
m?
?a－g?
?
?tan θ?
●迁移1 假设法求弹簧的形变量
1．(2017·安庆模拟)如图3-3-10所示，一轻质弹簧的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为37°的光滑斜面体顶端，弹簧与斜面平行．在斜面体以大小为g的加速度水平向左做匀加速直线运动的过程中，小球始终相对于斜面静止．已知弹簧的劲度系数为k，则该过程中弹簧的形变量为(已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
图3-3-10
A.C.
mg 5k5mg 5k4mgB． 5k7mgD． 5kA [在斜面体以大小为g的加速度水平向左做匀加速直线运动时，弹簧是处于伸长状态还是压缩状态，无法直接判断，此时可采用假设法，假设弹簧处于压缩状态，若求得弹力F为正值，则假设正确；水平方向上由牛顿第二定律得：FNsin θ＋Fcos θ＝mg ①；竖直方向上由受力平衡得：FNcos θ＝mg＋Fsin θ ②，①②联立得：
1mgF＝mg.由胡克定律得F＝kx，x＝，故选A.] 55k●迁移2 数学极值法求最小力
2．如图3-3-11所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝32
.重力加速度g取10 m/s. 3
图3-3-11
(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；
(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
【导学号：】
【解析】 (1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得
L＝v0t＋at2 v＝v0＋at 联立①②式，代入数据得
1
2
① ②
a＝3 m/s2 v＝8 m/s.
③ ④
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