尺规作图
一.填空题
1．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B.C，再分别以点B.C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D.作直线AD分别交OP、ON于点E.F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= 2
．
【解答】解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°．∵OP平分∠MON，∴∠EOF=∠MON=×60°=30°．在Rt△OEF中，OF=∴OA=2OF=2故答案为：2
． ．
EF=
．在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
2．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 10 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3， ∴AD=BC=3，CD=AB=7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10．
1
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 3.（2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 37 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°， ∴∠ABC=∠ACB=74°， 又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°． 故答案为：37．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 二.解答题
1. （2018·湖北江汉·5分）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题； 【解答】解：（1）如图所示，射线OP即为所求．
2
（2）如图所示，点C即为所求；
2.（2018·湖北咸宁·8分）已知：∠AOB． 求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C.D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB． 根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB． 【详解】由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△OCD和△O′C′D′中
，
∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．
【点睛】本题考查了基本作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图的基本方法以及利用SSS判定三角形全等的方法是解题的关键.
3.（2018·江苏常州·10分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
3
【分析】（1）只要证明FC=FB即可解决问题；
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求． ②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG； 【解答】（1）证明：如图1中，
∵EK垂直平分线段BC， ∴FC=FB， ∴∠CFD=∠BFD， ∵∠BFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠CFD．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点． 理由：设PP′交GN于K． ∵∠G=60°，∠GMN=90°， ∴∠N=30°， ∵PK⊥KN， ∴PK=KP′=PN， ∴PP′=PN=PM，
4
∴∠P′=∠PMP′，
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°， ∴∠PMP′=30°，
∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°， ∴QM=QN，QM=QG， ∴QG=QN， ∴Q是GN的中点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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